Мазмұны

• Басу үшін

Тригонометриялық теңдеу - бұл өзгермелі х тригонометриялық қисығының бір немесе бірнеше тригонометриялық функциялары бар теңдеу. Х-ті шешу тригонометриялық функциялар тригонометриялық теңдеуді шындыққа айналдыратын тригонометриялық қисықтардың мәндерін табуды білдіреді.

• Шешім қисықтарының жауаптары немесе мәндері градуспен немесе радианмен өрнектеледі. Мысалдар:

x = Pi / 3; x = 5Pi / 6; x = 3Pi / 2; x = 45 градус; x = 37,12 градус; x = 178,37 градус

• Ескерту: бірлік шеңберде кез-келген қисықтың тригонометриялық функциялары сәйкес бұрыштың тригонометриялық функцияларына тең. Бірлік шеңбері x айнымалы қисығының барлық тригонометриялық функцияларын анықтайды. Ол негізгі тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешуде дәлел ретінде қолданылады.
• Тригонометриялық теңдеулердің мысалдары:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tan x + төсек x = 1,732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2x 2x + cos x = 1.

1. Бірлік шеңбері.
   • Бұл Radius = 1 болатын шеңбер, мұндағы O - бастама. Бірлік шеңбері сағат тіліне қарсы айналатын x айнымалы қисығының 4 негізгі тригонометриялық функциясын анықтайды.
   • Х мәні бар қисық бірлік шеңберінде өзгергенде, келесідей болады:
   • Көлденең ось OAx тригонометриялық функцияны f (x) = cos x анықтайды.
   • OBy тік осі f (x) = sin x тригонометриялық функциясын анықтайды.
   • AT тік осі тригонометриялық функцияны f (x) = tan x анықтайды.
   • Көлденең ось BU тригонометриялық функцияны f (x) = cot x анықтайды.

• Бірлік шеңбері шеңбердің х қисығының әр түрлі орналасуын қарастыру арқылы негізгі тригонометриялық теңдеулер мен стандартты тригонометриялық теңсіздіктерді шешу үшін де қолданылады.

Басу үшін

1. Шешім әдісін түсіну.
   • Тригонометриялық теңдеуді шешу үшін оны бір немесе бірнеше негізгі тригонометриялық теңдеулерге айналдырады. Тригонометриялық теңдеулерді шешу нәтижесінде 4 негізгі тригонометриялық теңдеулер шешіледі.
2. Негізгі тригонометриялық теңдеулерді шешуді біліңіз.
   • 4 негізгі тригонометриялық теңдеу бар:
   • sin x = a; cos x = a
   • tan x = a; төсек x = a
   • Негізгі тригонометриялық теңдеулерді тригонометриялық шеңбердегі х қисығының әртүрлі орналасуын зерттеп, тригонометриялық түрлендіру кестесін (немесе калькулятор) қолдану арқылы шешуге болады. Осы және осыған ұқсас негізгі тригонометриялық теңдеулерді қалай шешуге болатындығын толық түсіну үшін келесі кітапты оқыңыз: «Тригонометрия: Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу» (Amazon E-book 2010).
   • Мысал 1. sin x = 0.866 үшін шешіңіз. Конверсия кестесі (немесе калькулятор) жауап береді: x = Pi / 3. Тригонометриялық шеңбер синус үшін бірдей мәнмен (0,866) тағы бір қисықты (2Pi / 3) береді. Тригонометриялық шеңбер сонымен қатар кеңейтілген жауаптар деп аталатын жауаптардың шексіздігін қамтамасыз етеді.
   • x1 = Pi / 3 + 2k.Pi, және x2 = 2Pi / 3. (Периодтағы жауаптар (0, 2Pi))
   • x1 = Pi / 3 + 2k Pi, және x2 = 2Pi / 3 + 2k Pi. (Толық жауаптар).
   • Мысал 2. Шешу: cos x = -1/2. Калькуляторлар x = 2 Pi / 3 береді. Тригонометриялық шеңбер де x = -2Pi / 3 береді.
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k.Pi, және x2 = - 2Pi / 3. (Кезең үшін жауаптар (0, 2Pi))
   • x1 = 2Pi / 3 + 2k Pi, және x2 = -2Pi / 3 + 2k.Pi. (Кеңейтілген жауаптар)
   • Мысал 3. Шешіңіз: тотығу (x - Pi / 4) = 0.
   • x = Pi / 4; (Жауап)
   • x = Pi / 4 + k Pi; (Кеңейтілген жауап)
   • Мысал 4. Шешіңіз: төсек 2x = 1.732. Калькуляторлар мен тригонометриялық шеңбер мынаны береді:
   • x = Pi / 12; (Жауап)
   • x = Pi / 12 + k Pi; (Кеңейтілген жауаптар)
3. Тригонометриялық теңдеулерді шешуде қолданылатын түрлендірулерді біліңіз.
   • Берілген тригонометриялық теңдеуді стандартты тригонометриялық теңдеулерге айналдыру үшін стандартты алгебралық түрлендірулерді (факторизация, жай көбейткіш, көпмүшелер ...), тригонометриялық функциялардың анықтамалары мен қасиеттерін және тригонометриялық сәйкестікті қолданыңыз. Шамамен 31, 14-і тригонометриялық идентификация, 19-дан 31-ге дейін, оларды трансформация идентификациясы деп те атайды, өйткені олар тригонометриялық теңдеулерді түрлендіруде қолданылады. Жоғарыдағы кітапты қараңыз.
   • 5-мысал: Тригонометриялық теңдеу: sin x + sin 2x + sin 3x = 0 негізгі тригонометриялық теңдеулердің тригонометриялық идентификацияларының көбейтіндісіне айналуы мүмкін: 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. Шешетін негізгі тригонометриялық теңдеулер: cos x = 0; күнә (3x / 2) = 0; және cos (x / 2) = 0.
4. Тригонометриялық функциялар белгілі болатын қисықтарды табыңыз.
   • Тригонометриялық теңдеулерді қалай шешуге болатынын білмес бұрын, тригонометриялық функциялар белгілі болатын қисықтарды қалай тез табуға болатындығын білу керек. Қисықтардың (немесе бұрыштардың) түрлендіру мәндерін тригонометриялық кестелермен немесе калькулятор көмегімен анықтауға болады.
   • Мысалы: cos x = 0.732 үшін шешіңіз. Калькулятор шешімін x = 42,95 градусқа береді. Бірлік шеңбері косинус үшін бірдей мәнге ие басқа қисықтарды береді.
5. Жауап доғасын бірлік шеңберге салыңыз.
   • Шешімді бірлік шеңберінде бейнелеу үшін график құруға болады. Бұл қисықтардың соңғы нүктелері тригонометриялық шеңбердегі тұрақты көпбұрыштар. Кейбір мысалдар:
   • X = Pi / 3 + k қисығының соңғы нүктелері.Pi / 2 - бірлік шеңбердегі квадрат.
   • X = Pi / 4 + k.Pi / 3 қисықтары бірлік шеңбердегі алтыбұрыштың координаттарымен көрсетілген.
6. Тригонометриялық теңдеулерді шешуді үйреніңіз.
   • Егер берілген тригонометриялық теңдеуде тек бір тригонометриялық функция болса, оны стандартты тригонометриялық теңдеу ретінде шешіңіз. Егер берілген теңдеуде екі немесе одан да көп тригонометриялық функциялар болса, теңдеуді түрлендіру нұсқаларына байланысты шешудің 2 әдісі бар.
     • A. 1-әдіс.
   • Тригонометриялық теңдеуді түрдегі көбейтіндіге айналдырыңыз: f (x) .g (x) = 0 немесе f (x) .g (x) .h (x) = 0, мұндағы f (x), g (x)) және h (x) - негізгі тригонометриялық теңдеулер.
   • Мысал 6. Шешіңіз: 2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2Pi)
   • Шешім. Теңдеудегі sin 2x-ті сәйкестендірудің орнына қойыңыз: sin 2x = 2 * sin x * cos x.
   • cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Содан кейін 2 стандартты тригонометриялық функцияны шешіңіз: cos x = 0, және (sin x + 1) = 0.
   • Мысал 7. Шешіңіз: cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2Pi)
   • Шешімі: Тригонометриялық идентификацияны пайдаланып көбейтіндіге айналдырыңыз: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Енді 2 негізгі тригонометриялық теңдеулерді шешіңіз: cos 2x = 0, және (2cos x + 1) = 0.
   • Мысал 8. Шешу: sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2Pi)
   • Шешімі: Тригонометриялық идентификацияны пайдаланып көбейтіндіге айналдырыңыз: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Енді 2 негізгі тригонометриялық теңдеуді шешіңіз: cos 2x = 0, және (2sin x + 1) = 0.
     • B. 2-тәсіл.
   • Триг теңдеуін триг теңдеуіне айнымалы ретінде тек бірегей триг функциясы бар түрлендіреді. Қолайлы айнымалыны қалай таңдауға болатыны туралы бірнеше кеңестер бар. Жалпы айнымалылар мыналар: sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tan x = t және tan (x / 2) = t.
   • Мысал 9. Шешіңіз: 3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2Pi).
   • Шешім. Теңдеуде (cos ^ 2x) мәнін (1 - sin ^ 2x) ауыстырыңыз және теңдеуді оңайлатыңыз:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Енді sin x = t қолданыңыз. Теңдеу келесідей болады: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Бұл 2 түбірі бар квадрат теңдеу: t1 = -1 және t2 = 9/5. Екінші t2-ден бас тартуға болады, өйткені> 1. Енді мынаны шешіңіз: t = sin = -1 -> x = 3Pi / 2.
   • Мысал 10. Шешіңіз: tan x + 2 tan ^ 2 x = cot x + 2.
   • Шешім. X = t мәнін қолданыңыз. Берілген теңдеуді айнымалы ретінде t теңдеуге айналдырыңыз: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Осы көбейтіндіден t үшін шешіңіз, содан кейін х үшін стандартты тригонометриялық tan x = t теңдеуді шешіңіз.
7. Арнайы тригонометриялық теңдеулерді шешіңіз.
   • Кейбір нақты конверсияларды қажет ететін бірнеше арнайы тригонометриялық теңдеулер бар. Мысалдар:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. Тригонометриялық функциялардың периодтық қасиеттерін біліңіз.
   • Барлық тригонометриялық функциялар периодты болып табылады, яғни олар период ішінде айналғаннан кейін бірдей мәнге оралады. Мысалдар:
     • F (x) = sin x функциясы период ретінде 2Pi болады.
     • F (x) = tan x функциясы нүкте ретінде Pi-ге ие.
     • F (x) = sin 2x функциясының нүктесі ретінде Pi болады.
     • F (x) = cos (x / 2) функциясы период ретінде 4Pi болады.
   • Егер кезең жаттығуларда / тестте көрсетілген болса, онда сіз осы уақыт ішінде x қисығын (сызықтарын) табуыңыз керек.
   • ЕСКЕРТПЕ: Тригонометриялық теңдеулерді шешу қиын және көбінесе қателіктер мен қателіктерге әкеледі. Сондықтан жауаптарды мұқият тексеру керек. Шешуден кейін графиктік калькуляторды пайдаланып, берілген тригонометриялық теңдеуді тікелей көрсету үшін R (x) = 0 жауаптарын тексеруге болады. Жауаптар (квадрат түбір түрінде) ондық бөлшектерде берілген. Мысал ретінде, Pi 3.14 мәніне ие