Квадрат теңдеулерді факторларға талдаңыз - Кеңестер

Вызшақ: 29-сабақ. 8-сынып. Алгебра. Квадрат теңдеулерді шешу. Дискриминант. Келесбаев Жақсылық

Мазмұны

Қадамдар
Кеңес
Сізге не керек

Математикада, факторлық талдау берілген санның немесе теңдеудің көбейтіндісімен сандарды немесе өрнектерді табу болып табылады. Факторлық талдау - бұл негізгі алгебралық есептерді шешуге үйренудің пайдалы дағдысы: жақсы факторизациялау қабілеті жұмыс кезінде өте маңызды. алгебралық теңдеулермен немесе басқа полиномдық формалармен. Алгебралық өрнектерді азайту үшін факторлық талдауды қолданып, мәселені жеңілдетуге болады. Оның арқасында сіз қолмен шешуге қарағанда әлдеқайда жылдам жауаптарды жоюға болады.

Қадамдар

3-тен 1-әдіс: Сандарды және негізгі алгебралық өрнектерді факторларға бөліп талдаңыз

Бірыңғай сандарға қолдану кезінде факторлық талдаудың анықтамасын түсіну. Тұжырымдамалық тұрғыдан қарапайым болғанымен, іс жүзінде күрделі теңдеулерді қолдану қиынға соғуы мүмкін. Сондықтан ең қарапайым факторлық талдаудың тұжырымдамалық тәсілі - бұл біртұтас сандардан бастау және одан әрі жетілдірілген қосымшаларға кіріспес бұрын қарапайым теңдеулерге көшу. Фактор берілген сан үшін көбейтіндісі бірдей сандар болады. Мысалы, 1, 12, 2, 6, 3 және 4 - 12-ге тең факторлар, өйткені 1 × 12, 2 × 6 және 3 × 4 барлығы 12-ге тең.
- Басқаша айтқанда, берілген санның факторлары сандар болып табылады бөлінеді сол сан бойынша.
- Сіз 60 коэффициентін толық таба аласыз ба? 60 саны әр түрлі мақсаттарда қолданылады (минут ішінде сағат, минутта секунд және т.б.), өйткені ол көптеген сандарға бөлінеді.
  - 60 саны келесі факторларға ие: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 және 60.
Құрамында айнымалылар бар өрнектерді көбейтуге болатындығын түсіну. Тәуелсіз сандармен қатар, арифметикалық коэффициенттері бар айнымалыларды да көбейте алады. Ол үшін тек айнымалының коэффициентінің факторларын табу керек. Талдауды факторизациялауды білу айнымалылардан тұратын қарапайым түрлендіретін алгебралық теңдеулерде өте пайдалы.
- Мысалы, 12х-ті 12 және х-тің нәтижелері ретінде қайта жазуға болады. 12x-ді 3 (4x), 2 (6x) және т.б. деп жазып, 12-дің мақсатына сәйкес келетін кез-келген факторды қолдануға болады.
  - Сіз тіпті 12x талдауға дейін баруға болады көп рет. Басқаша айтқанда, 3 (4x) немесе 2 (6x) деңгейлерінде тоқтаудың қажеті жоқ - біз сәйкесінше 3 (2 (2x) 2 (3 (2x)) алу үшін 4x және 6x-ті талдай аламыз. Бұл формула эквивалентті.
Алгебралық теңдеулерді көбейту үшін көбейтудің ассоциативті қасиеттерін қолданыңыз. Тәуелсіз сандарды да, коэффициенттерді де факторларға бөлу туралы біліміңді пайдаланып, қарапайым алгебралық теңдеулерді теңдеуге кіретін сандар мен айнымалылардың ортақ факторларын табу арқылы жеңілдетуге болады. Көбінесе теңдеу мүмкіндігінше қарапайым болу үшін біз ең үлкен ортақ бөлгішті табуға тырысамыз. Бұл қарапайым түрлендіру көбейтудің ассоциативті сипатының арқасында мүмкін болады - әрбір а, b және с сандары үшін бізде: a (b + c) = ab + ac.
- Келесі мысалды қарастырайық. 12х + 6 алгебралық теңдеуін көбейткішке көбейту үшін алдымен 12х пен 6-ның ең үлкен ортақ бөлгішін табамыз. 6 - 12х пен 6-ның екеуі де бөлінетін ең үлкен сан, сондықтан біз жеке түрлендіре аламыз. теңдеуді 6-ға дейін азайтыңыз (2х + 1).
- Дәл осындай процесс теріс белгілері мен бөлшектері бар теңдеулерге де қатысты. Мысалы, x / 2 + 4-ті 1/2 (x + 8) -ге түрлендіруге болады, ал -7x + -21 -7 (x + 3) дейін ыдыратуға болады.
жарнама

3-тен 2-әдіс: Квадрат теңдеулерді факторларға талдау

Теңдеудің квадрат түрінде болатынына көз жеткізіңіз (ax + bx + c = 0). Квадрат теңдеу ax + bx + c = 0 түріне ие, мұндағы a, b және c тұрақты, ал а нөлге тең емес (а мүмкін 1 немесе -1-ге тең). Егер бір айнымалы теңдеуде (х) х-тің квадраты бар бір немесе бірнеше терминдер болса, онда сіз көбінесе негізгі алгебраны пайдаланып, тең белгінің бір жағын 0-ге айналдырып, оське жол беріңіз және т.с.с. басқа жағынан.
- Мысалы, 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 алгебралық теңдеуін x + 6x + 9 = 0 дейін азайтуға болады, бұл квадраттық форма.
- Х жоғары көрсеткішке ие болатын теңдеулер, мысалы, х, х және т.б. квадраттық бола алмайды. Олар квадраттық, төрттік, ... егер теңдеуді х-тің 3 немесе одан да көп күштерін қамтитын мүшелерді жою арқылы азайтуға болмайтын болса.
Квадрат теңдеулер кезінде a = 1 болғанда, біз (x + d) (x + e) -ге дейін ыдыраймыз, мұндағы d × e = c және d + e = b. Егер квадрат теңдеу x + bx + c = 0 түрінде болса (немесе басқаша айтқанда, егер x = 1 коэффициенті болса), бізде салыстырмалы түрде жылдам есептеуді қолдану мүмкіндігі бар (бірақ сенімді емес). бұл теңдеуді көбейту қарапайым. С-ге тең екі санды табыңыз және сомасы b-ге тең. D және e тапқаннан кейін оларды келесі өрнекпен ауыстырыңыз: (x + d) (x + e). Бірге көбейткенде, бұл екі элемент бізге жоғарыдағы квадрат теңдеуді береді - басқаша айтқанда, олар теңдеудің факторлары болып табылады.
- Мысалы, x + 5x + 6 = 0. квадрат теңдеуін алайық. 3 пен 2-дің көбейтіндісі 6-ға тең және сол уақытта барлығы 5-ке тең. Сондықтан теңдеуді жай ғана (x + 3) -ке айналдыруға болады ( x + 2).
- Бұл негізгі жылдам түзету теңдеудің өзі сәл өзгеше болған кезде сәл өзгеше болады:
  - Егер квадрат теңдеу x-bx + c түрінде болса, сіздің жауабыңыз: (x - _) (x - _) түрінде болады.
  - Егер ол x + bx + c түрінде болса, сіздің жауабыңыз: (x + _) (x + _) болады.
  - Егер ол x-bx-c болса, сіздің жауабыңыз (x + _) (x - _) түрінде болады.
- Ескерту: бос орындарда бөлшектер немесе ондықтар болуы мүмкін. Мысалы, x + (21/2) x + 5 = 0 теңдеуі (x + 10) (x + 1/2) дейін ыдырайды.
Мүмкіндігінше факторлық талдауды тестілеу арқылы жүргізіңіз. Сенесіз бе, жоқ па, күрделі емес квадрат теңдеуде факторизацияның қабылданған әдістерінің бірі жай есеп шығару, содан кейін нәтиже табылғанға дейін барлық мүмкін жауаптарды өлшеу. дұрыс жауап. Ол сондай-ақ тест әдісі ретінде белгілі.Егер теңдеуде ax + bx + c және a> 1 формасы болса, онда сіздің факторизацияңыз (dx +/- _) (ex +/- _) формасы болады, мұндағы d және e - тұрақтылар екіншісі а-ға тең емес. d немесе e (немесе екеуі де) мүмкін 1-ге тең, бірақ ол міндетті түрде болмайды. Егер екеуі де 1-ге тең болса, сіз негізінен жоғарыда көрсетілген жылдам жұмысты қолданған болар едіңіз.
- Келесі мысал мәселесін қарастырайық. Бір қарағанда 3x - 8x + 4 өте қорқынышты көрінеді. Алайда, 3-те тек екі фактор (3 және 1) болатынын түсінгеннен кейін, мәселе оңайырақ болады, өйткені жауап (3x +/- _) (x +/- _) түрінде болатынын білеміз. Бұл жағдайда екі кеңістіктегі -2-нің орнына дұрыс жауап беріледі. -2 × 3x = -6x және -2 × x = -2x. -6х және -2х жалпы -8х-ке тең. -2 × -2 = 4, демек, жақшаға бөлінген элементтер бізге бастапқы теңдеуді беретіндігін көруге болады.
Квадратты толтыру арқылы есепті шығар. Кейбір жағдайларда квадрат теңдеулерді арнайы алгебралық сәйкестіктің көмегімен тез және оңай көбейтуге болады. X + 2xh + h = (x + h) түріндегі кез-келген квадрат теңдеу. Сондықтан, егер теңдеуде b с-тің квадрат түбірінен екі есе артық болса, онда теңдеуді (x + (sqrt (c))) түрінде ажыратуға болады.
- Мысалы, х + 6х + 9 теңдеуі осы форма үшін жұмыс істейтін болар еді. 3 9 мен 3 × 2 тең 6-ға тең. Демек, біз бұл теңдеудің факторизация формасы (x + 3) (x + 3), немесе (x + 3) екенін білеміз.
Квадрат теңдеулерді көбейткіштермен шеш. Қалай болғанда да, квадрат өрнекті көбейткеннен кейін, әрбір факторға нөлді беріп, оны шешу арқылы х-тің мүмкін болатын жауабын табуға болады. Сіз теңдеуі нөлге тең болатындай х-тің мәнін іздегендіктен, коэффициентті нөлге айналдыратын кез-келген х сол теңдеудің мүмкін шешімі болады.
- X + 5x + 6 = 0 теңдеуіне оралыңыз. Бұл (x + 3) (x + 2) = 0 -ге жіктеледі. Бір фактор нөлге тең болғанда, барлық теңдеу нөлге айналады. Х-тің мүмкін шешімдері - (х + 3) және (х + 2) сәйкесінше 0, -3 және -2-ге тең сандар.
Жауаптарыңызды тексеріңіз - кейбіреулері экзотикалық болуы мүмкін! Х-тің ықтимал шешімдерін тапқан кезде олардың дұрыс немесе дұрыс еместігін анықтау үшін оларды бастапқы теңдеумен ауыстырыңыз. Кейде жауап оны табады проблема жоқ ауыстырған кезде бастапқы теңдеуді нөлге теңестіреді. Біз бұл шешімдер деп атаймыз Экзотикалық және оларды жою.
- X + 5x + 6 = 0 үшін -2 және -3 ауыстырайық. Алдымен, -2:
  - (-2) + 5(-2) + 6 = 0
  - 4 + -10 + 6 = 0
  - 0 = 0. Иә, сондықтан -2 - теңдеудің дұрыс шешімі.
- Енді -3 арқылы көрейік:
  - (-3) + 5(-3) + 6 = 0
  - 9 + -15 + 6 = 0
  - 0 = 0. Бұл да дұрыс, сондықтан -3 теңдеудің де дұрыс шешімі болып табылады.
жарнама

3-тен 3-әдіс: Теңдеулердің басқа түрлерін факторларға талдаңыз

Егер теңдеу a-b түрінде болса, оны (a + b) (a-b) дейін бөлшектеңіз. Екі айнымалы теңдеу негізгі квадрат теңдеуге қарағанда басқаша талданады. А және b нөлге тең емес кез-келген a-b теңдеуі (a + b) (a-b) -ге ыдырайды.
- Мысалы, 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y) теңдеуі.
Егер теңдеу a + 2ab + b түрінде болса, оны (a + b) -ге дейін бөлшектеңіз. Егер триномия а түрінде болса, назар аударыңыз-2ab + b, факторизация формасы аздап өзгереді: (a-b).
- 4x + 8xy + 4y теңдеулерін 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y түрінде қайта жазуға болады. Енді біз оның дұрыс формада екенін көрдік және осы теңдеудің факторизация формасы (2х + 2у) деп сенімді түрде айта аламыз.
Егер теңдеу a-b түрінде болса, оны (a-b) (a + ab + b) дейін бөлшектеңіз. Сонымен, текше теңдеулерді және одан да жоғары ретті теңдеулерді көбейткіштерге жіктеуге болады деп айту керек. Алайда, талдау процесі тез арада өте күрделі болады.
- Мысалы, 8x - 27y (2x - 3y) (4x + ((2x) (3y)) + 9y) дейін ыдырайды
жарнама

Кеңес

a-b көбейтуге болады, ал a + b болмайды.
Тұрақты факторларды қалай есептеу керектігін ұмытпаңыз - бұл пайдалы болуы мүмкін.
Факторлау процесінде фракцияларға назар аударыңыз, оларды дұрыс және орынды өңдеңіз.
X + bx + (b / 2) үшбұрышымен оның факторизациясы (x + (b / 2)) болады (сіз квадратты аяқтаған кезде осындай жағдайға тап болуыңыз мүмкін).
A0 = 0 (қасиет нөлге көбейтілген) екенін ұмытпаңыз.