Мазмұны

• Қадамдар

Тригонометриялық теңдеуде «x» айнымалысының (немесе кез келген басқа айнымалының) бір немесе бірнеше тригонометриялық функциялары бар. Тригонометриялық теңдеуді шешу - функция (лар) мен тұтастай теңдеуді қанағаттандыратын «х» мәнін табу.

• Тригонометриялық теңдеулердің шешімдері градуспен немесе радианмен өрнектеледі. Мысалдар:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; x = 45 градус; х = 37,12 градус; x = 178,37 градус.

• Ескерту: тригонометриялық функциялардың радианмен және бұрышпен градуспен өрнектелген мәндері тең. Тригонометриялық функцияларды сипаттау үшін, сонымен қатар негізгі тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктердің шешімінің дұрыстығын тексеру үшін радиусы бірге тең тригонометриялық шеңбер қолданылады.
• Тригонометриялық теңдеулердің мысалдары:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1,732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Радиусы бір тригонометриялық шеңбер (бірлік шеңбер).
   • Бұл радиусы бірге тең және О нүктесінде центрі бар шеңбер. Бірлік шеңбері «х» айнымалысының 4 негізгі тригонометриялық функциясын сипаттайды, мұндағы «х» - X осінің оң бағытынан сағат тіліне қарсы бағытталған бұрыш.
   • Егер «x» бірлік шеңберінде қандай да бір бұрыш болса, онда:
   • OAx көлденең осі F (x) = cos x функциясын анықтайды.
   • OBy вертикаль осі F (x) = sin x функциясын анықтайды.
   • AT тік осі F (x) = tan x функциясын анықтайды.
   • Горизонталь осі BU F (x) = ctg x функциясын анықтайды.

• Бірлік шеңбер негізгі тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу үшін де қолданылады (онда «х» әр түрлі позициялары қарастырылады).

Қадамдар

1. 1 Тригонометриялық теңдеулерді шешу туралы түсінік.
   • Тригонометриялық теңдеуді шешу үшін оны бір немесе бірнеше негізгі тригонометриялық теңдеуге түрлендіріңіз. Тригонометриялық теңдеуді шешу төрт негізгі тригонометриялық теңдеуді шешуге әкеледі.
2. 2 Негізгі тригонометриялық теңдеулерді шешу.
   • Негізгі тригонометриялық теңдеулердің 4 түрі бар:
   • sin x = a; cos x = a
   • tg x = a; ctg x = a
   • Негізгі тригонометриялық теңдеулерді шешу бірлік шеңберіндегі әр түрлі х позицияларын қарауды және түрлендіру кестесін (немесе калькуляторды) пайдалануды қамтиды.
   • Мысал 1.sin x = 0.866. Түрлендіру кестесін (немесе калькуляторды) пайдаланып, сіз жауап аласыз: x = π / 3. Бірлік шеңбері басқа жауап береді: 2π / 3. Есіңізде болсын: барлық тригонометриялық функциялар мерзімді, яғни олардың мәндері қайталанады. Мысалы, sin x пен cos x периодтылығы 2πn, ал tg x пен ctg x периодтылығы πn. Сондықтан жауап келесі түрде жазылады:
   • x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
   • Мысал 2.cos x = -1/2. Түрлендіру кестесін (немесе калькуляторды) пайдаланып, сіз жауап аласыз: x = 2π / 3. Бірлік шеңбері басқа жауап береді: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • Мысал 3.tg (x - π / 4) = 0.
   • Жауабы: x = π / 4 + πn.
   • Мысал 4. ctg 2x = 1.732.
   • Жауабы: x = π / 12 + πn.
3. 3 Тригонометриялық теңдеулерді шешу үшін қолданылатын түрлендірулер.
   • Тригонометриялық теңдеулерді түрлендіру үшін алгебралық түрлендірулер (факторизация, біртекті мүшелерді азайту және т.б.) мен тригонометриялық сәйкестіктер қолданылады.
   • Мысал 5. Тригонометриялық сәйкестендіру арқылы sin x + sin 2x + sin 3x = 0 теңдігі 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0 теңдеуіне айналады. келесі негізгі тригонометриялық теңдеулерді шешіңіз: cos x = 0; күнә (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
     
     
4. 4 Функциялардың белгілі мәндерінен бұрыштарды табу.
   • Тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістерін үйренбес бұрын, функцияның белгілі мәндерінен бұрыштарды табуды үйрену керек. Мұны конверсия кестесі немесе калькулятор көмегімен жасауға болады.
   • Мысалы: cos x = 0.732. Калькулятор x = 42,95 градус жауап береді. Бірлік шеңбер қосымша бұрыштар береді, олардың косинусы 0,732.
5. 5 Шешімді бірлік шеңберіне қойыңыз.
   • Бірлік шеңберіндегі тригонометриялық теңдеудің шешімдерін кейінге қалдыруға болады. Бірлік шеңбердегі тригонометриялық теңдеудің шешімдері тұрақты көпбұрыштың шыңдары болып табылады.
   • Мысал: Бірлік шеңберіндегі x = π / 3 + πn / 2 шешімдері квадраттың төбелері болып табылады.
   • Мысал: Бірлік шеңберіндегі x = π / 4 + πn / 3 шешімдері тұрақты алтыбұрыштың төбелерін көрсетеді.
6. 6 Тригонометриялық теңдеулерді шешу әдістері.
   • Егер берілген триггерлік теңдеуде тек бір ғана триггерлік функция болса, бұл теңдеуді негізгі триггерлік теңдеу ретінде шешіңіз.Егер берілген теңдеуге екі немесе одан да көп тригонометриялық функциялар кірсе, онда мұндай теңдеуді шешудің 2 әдісі бар (оны түрлендіру мүмкіндігіне байланысты).
     • 1 -әдіс.
   • Бұл теңдеуді f (x) * g (x) * h (x) = 0 түріндегі теңдеуге айналдырыңыз, мұндағы f (x), g (x), h (x) - негізгі тригонометриялық теңдеулер.
     
     
   • Мысал 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • Шешім. Sin 2x = 2 * sin x * cos x қос бұрышты формуласын қолданып, sin 2x ауыстырыңыз.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Енді екі негізгі тригонометриялық теңдеуді шешіңіз: cos x = 0 және (sin x + 1) = 0.
   • Мысал 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • Шешуі: Тригонометриялық сәйкестікті қолдана отырып, бұл теңдеуді мына түрдегі теңдеуге айналдырыңыз: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Енді екі негізгі тригонометриялық теңдеуді шешіңіз: cos 2x = 0 және (2cos x + 1) = 0.
   • Мысал 8.sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2π)
   • Шешуі: Тригонометриялық сәйкестікті қолдана отырып, бұл теңдеуді мына түрдегі теңдеуге айналдырыңыз: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Енді екі негізгі тригонометриялық теңдеуді шешіңіз: cos 2x = 0 және (2sin x + 1) = 0
     • 2 -әдіс.
   • Берілген тригонометриялық теңдеуді тек бір тригонометриялық функциясы бар теңдеуге айналдырыңыз. Содан кейін бұл тригонометриялық функцияны белгісізге ауыстырыңыз, мысалы, t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t және т.б.).
   • Мысал 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π).
   • Шешім. Бұл теңдеуде (cos ^ 2 x) ауыстырыңыз (1 - sin ^ 2 x) (сәйкестендіру бойынша). Түрлендірілген теңдеу - бұл:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. sin x ауыстырыңыз t. Енді теңдеу келесідей болады: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Бұл екі түбірі бар квадрат теңдеу: t1 = -1 және t2 = 9/5. Екінші t2 түбірі функция мәндерінің диапазонын қанағаттандырмайды (-1 sin x 1). Енді шешіңіз: t = sin x = -1; x = 3π / 2.
   • Мысал 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • Шешім. Tg x -ді t -ке ауыстырыңыз. Түпнұсқалық теңдеуді келесі түрде қайта жазыңыз: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Енді t = tg x үшін x -ті табыңыз.
7. 7 Арнайы тригонометриялық теңдеулер.
   • Нақты түрлендіруді қажет ететін бірнеше арнайы тригонометриялық теңдеулер бар. Мысалдар:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 Тригонометриялық функциялардың периодтылығы.
   • Бұрын айтылғандай, барлық тригонометриялық функциялар периодты болып табылады, яғни олардың мәндері белгілі бір кезеңнен кейін қайталанады. Мысалдар:
     • F (x) = sin x функциясының периоды 2π.
     • F (x) = tan x функциясының периоды π -ге тең.
     • F (x) = sin 2x функциясының периоды - is.
     • F (x) = cos (x / 2) функциясының периоды 4π.
   • Егер есепте кезең көрсетілген болса, осы уақыт ішінде «x» мәнін есептеңіз.
   • Ескерту: Тригонометриялық теңдеулерді шешу оңай жұмыс емес және жиі қателіктерге әкеледі. Сондықтан жауаптарыңызды мұқият тексеріңіз. Ол үшін графикалық калькуляторды пайдаланып R (x) = 0 теңдеуін салуға болады. Мұндай жағдайларда шешімдер ондық бөлшек түрінде беріледі (яғни, π 3,14 -ке ауыстырылады).