Квадрат теңдеу факторы

Мазмұны

Басу үшін
Басы
6-дан 1-әдіс: сынақ және қателік
6-дан 2-әдіс: ыдырау
6-дан 3-әдіс: Үштік ойын
6-дан 4-әдіс: Екі квадраттың айырмашылығы
6-дан 5-әдіс: АВС формуласы
6-дан 6-әдіс: Калькуляторды пайдалану
Кеңестер
Ескертулер
Қажеттіліктер

Көпмүшелік белгілі бір дәрежеге айнымалы (х) және бірнеше мүшелер мен / немесе тұрақтылардан тұрады. Көпмүшені көбейту үшін, өрнекті бірге көбейтілетін кішігірім өрнектерге бөлуге тура келеді. Бұл үшін белгілі бір математика деңгейі қажет, сондықтан сіз әлі онша алыс емес болсаңыз, түсіну қиын болуы мүмкін.

Басу үшін

Басы

Теңдеу. Квадрат теңдеудің стандартты форматы:

ax + bx + c = 0
Теңдеуіңіздегі терминдерді ең жоғарғы деңгейден ең төменгі деңгейге дейін орналастырудан бастаңыз. Мысалы:

6 + 6x + 13x = 0
Біз бұл өрнекті қайта реттейміз, сондықтан онымен жұмыс істеу оңайырақ болады - жай терминдерді жылжыту арқылы:

6x + 13x + 6 = 0
Төмендегі әдістердің бірін пайдаланып факторларды табыңыз. Көпмүшені факторизациялау нәтижесінде алғашқы көпмүшені алуға болатын екі кіші өрнек шығады:

6x + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)
Бұл мысалда (2x +3) және (3x + 2) болып табылады факторлар 6х + 13х + 6 бастапқы өрнегінен.
Жұмысыңызды тексеріңіз! Сіз тапқан факторларды көбейтіңіз. Сол терминдерді біріктіріңіз, сонда сіз аяқталды. Бастау:

(2х + 3) (3x + 2)
Терминдерді EBBL (көбіне - сыртқы - ішкі - соңғы) көмегімен көбейтіп көрейік, бұл бізге:

6x + 4x + 9x + 6
Енді біз 4х және 9х-ті қосамыз, өйткені олар тең мүшелер. Біз факторлардың дұрыс екенін білеміз, өйткені біз бастаған теңдеуді қайтарамыз:

6x + 13x + 6

6-дан 1-әдіс: сынақ және қателік

Егер сізде өте қарапайым көпмүше болса, қандай факторлар бар екенін бірден көре аласыз. Мысалы, біраз тәжірибеден кейін көптеген математиктер өрнекті көре алады 4x + 4x + 1 (2x + 1) және (2x + 1) факторлары бар, өйткені олар мұны бірнеше рет көрген. (Әрине, бұл күрделі полиномдармен оңай болмайды.) Келесі мысал үшін стандартты емес өрнекті алайық:

3x + 2x - 8

Факторларын жазыңыз а термин және c мерзім. Пішімді қолданыңыз ax + bx + c = 0, тану а және c терминдер және қандай факторлар бар екенін ескеріңіз. 3x + 2x - 8 үшін бұл мынаны білдіреді:

a = 3 және 1 жұп факторы бар: 1 * 3
c = -8 және бұл 4 жұп факторларға ие: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 және -1 * 8.
Бос орынмен екі жұп жақшаны жазыңыз. Мұнда сіз әр өрнектің тұрақтыларын енгізесіз:

(х) (х)
Х-тің алдындағы кеңістікті. -Ның мүмкін болатын факторларымен толтырыңыз а мәні. Үшін а біздің мысалдағы термин, 3х, тек 1 мүмкіндік бар:

(3x) (1x)
Х-тен кейінгі 2 бос орынды тұрақтылар үшін бірнеше фактормен толтырыңыз. Біз 8 және 1-ді таңдадық делік. Мұны енгізіңіз:

(3x8) (X1)
X айнымалысы мен сандар арасында қандай белгілер (плюс немесе минус) болуы керек екенін анықтаңыз. Бастапқы өрнектің таңбаларына байланысты тұрақтылардың символдары қандай болу керектігін білуге болады. Екі фактордың екі тұрақтылығын алайық сағ және к еске түсіру:

Егер ax + bx + c болса (x + h) (x + k)
Егер ax - bx - c немесе ax + bx - c болса (x - h) (x + k)
Егер ax - bx + c болса (x - h) (x - k)
Біздің мысалда 3x + 2x - 8 белгісі: (x - h) (x + k), бұл бізге келесі екі факторды береді:

(3x + 8) және (x - 1)
Бірінші-сыртқы-ішкі-соңғы көбейту арқылы таңдауыңызды тексеріңіз. Орта мерзімнің кем дегенде дұрыс мәні бар-жоғын анықтайтын алғашқы жылдам тест. Егер олай болмаса, онда сізде қате бар шығар c таңдалған факторлар. Жауабын тексеріп көрейік:

(3x + 8) (x - 1)
Көбейту арқылы аламыз:

3x - 3x + 8x - 8
Осы өрнекті (-3х) және (8х) сияқты терминдерді қосу арқылы жеңілдетіңіз, ал біз мынаны аламыз:

3x - 3x + 8x - 8 = 3x + 5x - 8
Енді біз дұрыс емес факторларды қабылдағанымызды білеміз:

3x + 5x - 8 ≠ 3x + 2x - 8
Қажет болса, таңдауыңызды ауыстырыңыз. Біздің мысалда 1 және 8 емес, 2 мен 4-ті көрейік:

(3x + 2) (x - 4)
Енді біздің c -8-ге тең, бірақ (3x * -4) және (2 * x) сыртқы / ішкі көбейтіндісі -12х және 2х құрайды, бұл дұрыс емес б мерзім немесе + 2х.

-12х + 2х = 10х
10х ≠ 2х
Қажет болса, тапсырысты кері қайтарыңыз. 2 және 4-ті аударуға тырысайық:

(3x + 4) (x - 2)
Енді біздің c мерзімі (4 * 2 = 8) және бәрібір жақсы, бірақ сыртқы / ішкі өнімдері -6х және 4х. Оларды біріктіргенде:

-6х + 4х = 2х
2x ≠ -2x Біз қазір қалаған жерімізге 2x жақындадық, бірақ белгі әлі дұрыс емес.
Қажет болса, кейіпкерлеріңізді екі рет тексеріңіз. Біз бұл тәртіпті сақтаймыз, бірақ минус белгісімен ауыстырамыз:

(3x - 4) (x + 2)
Енді c Термин әлі жақсы, ал сыртқы / ішкі өнімдер қазір (6х) және (-4х). Себебі:

6х - 4х = 2х
2х = 2х Біз енді бастапқы проблемадан оң 2х қайтарымын көреміз. Бұл дұрыс факторлар болуы керек.

6-дан 2-әдіс: ыдырау

Бұл әдіс оның барлық мүмкін факторларын береді а және c терминдер және оларды қандай факторлардың дұрыс екенін анықтау үшін қолданады. Егер сандар өте үлкен болса немесе басқа әдістер туралы болжам тым ұзаққа созылатын болса, осы әдісті қолданыңыз. Мысал:

6x + 13x + 6

Көбейтіңіз а терминімен c мерзім. Бұл мысалда, а 6 және c ол да 6.

6 * 6 = 36
Табыңыз б факторизация және тестілеу арқылы мерзім. Факторлары болып табылатын 2 санды іздейміз а * c және бірге б мерзім (13).

4 * 9 = 36
4 + 9 = 13
Теңдеуіңізде алынған екі санды қосындының қосындысы ретінде ауыстырыңыз б мерзім. Келіңіздер к және сағ бізде бар 4 және 9 сандарын көрсету үшін:

ax + kx + hx + c
6x + 4x + 9x + 6
Көпмүшені топтастыру арқылы көбейт. Алғашқы екі мүшенің және соңғы екі мүшенің ең үлкен ортақ бөлгішін бөлуге болатындай етіп теңдеуді ұйымдастырыңыз. Екі фактор бірдей болуы керек. GGD-ді қосып, оларды жақшаларға, факторлардың жанына орналастырыңыз; нәтижесінде сіз екі факторды аласыз:

6x + 4x + 9x + 6
2х (3x + 2) + 3 (3x + 2)
(2х + 3) (3x + 2)

6-дан 3-әдіс: Үштік ойын

Ыдырау әдісіне ұқсас. «Үштік ойын» әдісі өнімнің мүмкін факторларын зерттейді а және c және не екенін білу үшін оны қолданыңыз б болуы тиіс. Мысал ретінде теңдеуді алайық:

8х + 10х + 2

Көбейтіңіз а терминімен c мерзім. Бөлу әдісі сияқты, біз мұны үміткерлерді анықтау үшін қолданамыз б мерзім. Бұл мысалда: а 8 және c 2.

8 * 2 = 16
Осы санның көбейтіндісі ретінде және қосындысына тең 2 санды табыңыз б мерзім. Бұл қадам ыдырау әдісімен бірдей - біз тұрақтыға үміткерлерді тексереміз. Өнімі а және c шарттары 16, ал c мерзімі 10:

2 * 8 = 16
8 + 2 = 10
Осы 2 санды алып, оларды «үш реттік ойын» формуласымен алмастырыңыз. Алдыңғы қадамдағы 2 санды алыңыз - оларды алайық сағ және к оларды шақырыңыз - және оларды келесі өрнекке салыңыз:

((ax + h) (ax + k)) / a

Осының арқасында біз мынаны аламыз:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8
Бөлгіштегі екі мүшенің қайсысын толығымен бөлуге болатындығын көріңіз а. Бұл мысалда біз (8x + 8) немесе (8x + 2) 8-ге бөлуге болатынын қарастырамыз. (8x + 8) 8-ге бөлінеді, сондықтан біз бұл мүшені келесіге бөлеміз а және біз басқасын әсер етпей қалдырамыз.

(8x + 8) = 8 (x + 1)
Бұл жерде біз сақтаған термин - мен бөлінгеннен кейін қалған термин а мерзім: (x + 1)
Мүмкіндігінше екі немесе екі шарттан ең үлкен ортақ бөлгішті (gcd) алыңыз. Бұл мысалда біз екінші мүшенің gcd 2-ге ие екенін көреміз, өйткені 8x + 2 = 2 (4x + 1). Бұл жауапты алдыңғы қадамда ашқан терминмен біріктіріңіз. Бұл сіздің салыстыру факторларыңыз.

2 (x + 1) (4x + 1)

6-дан 4-әдіс: Екі квадраттың айырмашылығы

Сіз полиномдағы кейбір коэффициенттерді «квадраттар» деп, немесе 2 бірдей сандардың көбейтіндісі ретінде тануға болады. Қандай квадраттар екенін анықтай отырып, сіз көпмүшелерді жылдамырақ көбейте аласыз. Біз теңдеуді қабылдаймыз:

27х - 12 = 0

Мүмкіндігінше gcd теңдеуден алып тастаңыз. Бұл жағдайда біз 27 мен 12-нің 3-ке бөлінетіндігін көреміз, сондықтан оларды бөлек орналастыра аламыз:

27х - 12 = 3 (9х - 4)
Сіздің теңдеуіңіздің коэффициенттері квадрат екенін анықтаңыз. Бұл әдісті қолдану үшін терминдердің түбірін анықтау қажет. (Минус белгілерін алып тастағанымызды ескеріңіз - бұл сандар квадраттар болғандықтан, олар 2 теріс сандардың көбейтіндісі болуы мүмкін)

9x = 3x * 3x және 4 = 2 * 2
Сіз анықтаған квадрат түбірді пайдаланып, енді факторларды жаза аласыз. Біз а және c алдыңғы қадамның мәндері: а = 9 және c = 4, демек мұның түбірлері: - √а = 3 және √c = 2. Бұл көбейтілген өрнектердің коэффициенттері:

27х - 12 = 3 (9х - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

6-дан 5-әдіс: АВС формуласы

Егер ештеңе жұмыс істемейтін сияқты болса және теңдеуді шеше алмасаңыз, abc формуласын қолданыңыз. Келесі мысалды алайық:

x + 4x + 1 = 0

Сәйкес мәндерді abc формуласына енгізіңіз:

x = -b ± √ (b - 4ac)
---------------------
2а
Біз енді өрнек алдық:

x = -4 ± √ (4 - 4 • 1 • 1) / 2
X үшін шешіңіз. Енді x үшін 2 мән алу керек. Бұлар:

x = -2 + √ (3) немесе x = -2 - √ (3)
Факторларды анықтау үшін х-тің мәндерін қолданыңыз. Екі теңдеуден алынған х мәндерін тұрақтылар түрінде енгізіңіз. Бұл сіздің факторларыңыз. Егер екеуіне жауап берер болсақ сағ және к біз екі факторды келесідей етіп жазамыз:

(x - h) (x - k)
Бұл жағдайда соңғы жауап:

(x - (-2 + √ (3)) (x - (-2 - √ (3)) = (x + 2 - √ (3)) (x + 2 + √ (3))

6-дан 6-әдіс: Калькуляторды пайдалану

Егер графикалық калькуляторды қолдануға рұқсат етілсе (немесе міндетті болса), бұл факторингті, әсіресе емтихандар мен емтихандар үшін едәуір жеңілдетеді. Келесі нұсқаулар TI графикалық калькуляторына арналған. Біз мысалдан алынған теңдеуді қолданамыз:

y = x - x - 2

Калькуляторға теңдеуді енгізіңіз. Сіз [Y =] экраны деп аталатын теңдеуді шешуші қолданатын боласыз.
Калькулятор көмегімен теңдеуді графикке салыңыз. Теңдеуді енгізгеннен кейін [GRAPH] пернесін басыңыз - енді қисық сызықты, параболаны теңдеуіңіздің графикалық көрінісі ретінде көріңіз (және ол парабола, өйткені біз көпмүшемен айналысамыз).
Параболаның х осімен қиылысатын жерін табыңыз. Квадрат теңдеу дәстүрлі түрде ax + bx + c = 0 түрінде жазылатын болғандықтан, теңдеуді нөлге тең ететін екі х мәні:

(-1, 0), (2 , 0)
x = -1, x = 2
- Егер сіз параболаның х осімен қиылысатын жерін көре алмасаңыз, [2], содан кейін [TRACE] басыңыз. [2] басыңыз немесе «нөл» таңдаңыз. Меңзерді қиылыстың сол жағына жылжытып, [ENTER] басыңыз. Меңзерді қиылыстың оң жағына жылжытып, [ENTER] басыңыз. Меңзерді қиылысу нүктесіне мүмкіндігінше жақындатып, [ENTER] басыңыз. Калькулятор х мәнін көрсетеді. Мұны басқа қиылысқа да жасаңыз.
Алынған х мәндерін екі есепке алынған өрнектерге енгізіңіз. Егер екі х мәнін алсақ сағ және к термин ретінде біз қолданатын өрнек келесідей көрінеді:

(x - h) (x - k) = 0
Сонымен, біздің екі факторымыз:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Кеңестер

Егер сіз көпмүшені abc формуласымен дәлелдеген болсаңыз және сіздің жауабыңызда түбірлер болса, x мәндерін оларды тексеру үшін бөлшектерге ауыстыра аласыз.
Егер мүшенің алдында коэффициенті болмаса, онда коэффициент 1-ге тең болады, мысалы х = 1х.
Егер сізде TI-84 калькуляторы болса, онда сіз үшін квадрат теңдеуді шеше алатын SOLVER деген бағдарлама бар. Ол сонымен қатар жоғары дәрежелі көпмүшелерді шешеді.
Көптеген жаттығулардан кейін сіз көпмүшелерді жатқа шеше аласыз. Бірақ қауіпсіз болу үшін оларды әрқашан жазып алған дұрыс.
Егер термин болмаса, коэффициент нөлге тең. Онда теңдеуді қайта жазу пайдалы болуы мүмкін. Мысалы. x + 6 = x + 0x + 6.

Ескертулер

Егер сіз математика сабағында осы тұжырымдаманы үйреніп жатсаңыз, мұғалімнің түсіндіріп отырғанына назар аударыңыз және өзіңіздің сүйікті әдісіңізді қолданбаңыз. Сізден тест үшін белгілі бір әдісті қолдану сұралуы мүмкін немесе графикалық калькуляторларға жол берілмейді.