Мазмұны

• Басу үшін
• Кеңестер

График ретінде квадрат теңдеуді қараңыз ax + bx + c , сондай-ақ ретінде жазылады a (x - h) + k, U-тәрізді тегіс қисық тәрізді. Біз мұны деп атаймыз парабола. Квадрат теңдеуді графикаға түсіру шегін, бағытын және көбінесе х осімен және у осімен қиылысу нүктелерін табуды қамтиды. Салыстырмалы қарапайым квадрат теңдеу жағдайында координаттар жүйесінде осы нүктелерді көрсету үшін х үшін бірнеше мән енгізу жеткілікті болуы мүмкін, содан кейін параболаны салуға болады. Бастау үшін 1-қадамды жалғастырыңыз.

Басу үшін

1. Екінші дәрежелі теңдеудің қандай түрін анықтаңыз. Оны екі жолмен жазуға болады: стандартты белгілеу және шыңдық жазу (квадрат түбір формуласын жазудың тағы бір тәсілі). Квадрат теңдеудің графигін құру үшін екеуін де қолдануға болады, бірақ процесс әр жағдайда сәл өзгеше. Көбіне сіз стандартты пішінді кездестіресіз, бірақ екі пішінді де қолдануды үйрену зиян тигізбейді. Квадрат теңдеудің екі формасы:
   • Стандартты пішін. Квадрат теңдеу келесідей белгіленеді: f (x) = ax + bx + c мұндағы a, b және c - нақты сандар және а нөлге тең емес.
     • Стандартты квадрат теңдеулердің екі мысалы: f (x) = x + 2x + 1 және f (x) = 9x + 10x -8.
   • Шың пішіні. Квадрат теңдеу келесідей белгіленеді: f (x) = a (x - h) + k мұндағы a, h және k - нақты сандар және а нөлге тең емес. Бұл пішін шың деп аталады, өйткені h және k параболаның жоғарғы жағына (h, k) тікелей сілтеме жасайды.
     • Шыңдық теңдеулердің екі мысалы: f (x) = 9 (x - 4) + 18 және -3 (x - 5) + 1
   • Осы теңдеулердің графигін құру үшін алдымен графиктің жоғарғы жағын (h, k) анықтаймыз. Стандартты теңдеуде сіз мұны h = -b / 2a және k = f (h) арқылы табасыз, ал бұл шың түрінде берілген, өйткені h мен k теңдеуде кездеседі.
2. Өзіңіздің айнымалыларыңызды анықтаңыз. Квадрат теңдеуді шешу үшін әдетте a, b және c (немесе a, h және k) айнымалыларын анықтау керек. Кәдімгі жаттығу сізге екінші деңгейдегі теңдеуді стандартты түрде береді, бірақ шыңның белгіленуі де болуы мүмкін.
   • Мысалы: f (x) = 2x + 16x + 39 стандартты функциясы. Мұнда a = 2, b = 16 және c = 39 бар.
   • Төбелік жазуда: f (x) = 4 (x - 5) + 12. Мұнда a = 4, h = 5 және k = 12 болады.
3. Ч есептеңіз. Төменгі нотада h мәні берілген, бірақ стандартты нотада бұл мән әлі есептелмеген. Стандартты теңдеу кезінде орындалатындығын ұмытпаңыз: h = -b / 2a.
   • Мысал 1. (f (x) = 2x + 16x + 39), h = -b / 2a = -16/2 (2). Мұны шешу арқылы біз h = екенін көреміз -4.
   • Мысал 2. (f (x) = 4 (x - 5) + 12), біз бірден h = 5 екенін көреміз.
4. K-ны есептеңіз. H сияқты, k шың формасының теңдеулерінен бұрыннан белгілі. Стандартты нотадағы теңдеулер үшін k = f (h) екенін ұмытпаңыз. Басқаша айтқанда, кез-келген х айнымалысын h мәнімен ауыстыру арқылы k-ны табуға болады.
   • Біз мысалға h = -4 екенін көрдік. K табу үшін, x айнымалысы үшін теңдеудегі h мәнін толтыру арқылы осы теңдеуді шешеміз:
     • k = 2 (-4) + 16 (-4) + 39.
     • k = 2 (16) - 64 + 39.
     • k = 32 - 64 + 39 = 7
   • 2-мысалдан біз k-дің 12-ге тең екенін, ешқандай есептеуді қажет етпейтінін білеміз.
5. Графиктің жоғарғы немесе төменгі жағын салыңыз. Параболаңыздың шыңы немесе аңғары (h, k) нүктесі болып табылады - h - х координатасын, ал k - координатты білдіреді. Шың - сіздің параболаның орталығы - «U» түрінде немесе керісінше графиктің шыңы немесе аңғары, ең биік немесе ең төменгі нүктесі.Параболаның жоғарғы бөлігін анықтай білу - дұрыс графикті салудың маңызды бөлігі, көбінесе параболаның жоғарғы бөлігін анықтау мектептегі математикалық есептердің бөлігі болып табылады.
   • 1-мысалда графиктің жоғарғы жағы (-4.7). Графикке нүкте салыңдар және координаттарды дұрыс атағаныңа көз жеткіз
   • 2-мысалда, жоғарғы жағы (5.12). Сонымен (0,0) нүктеден сіз оңға 5 орынға, содан кейін 12-ге көтерілесіз.
6. Қажет болса, параболаның симметрия осін салыңыз. Параболаның симметрия осі - фигураны дәл жартысына бөліп, ортасында қиылысатын сызық. Графиктің бір жағы графиктің екінші жағында осы сызық бойымен шағылысқан. Ax + bx + c немесе a (x - h) + k квадрат теңдеулерінде бұл ось параболаның шыңынан өтетін y осіне параллель түзу болып табылады.
   • 1-мысал жағдайында симметрия осі y осіне параллель түзу болып табылады және (-4,7) нүктесі арқылы өтеді. Бұл параболаның құрамына кірмегенімен, осы нұсқаулықты жеңіл бөліп көрсету сізге парабола қисығының қаншалықты симметриялы екенін көрсете алады.
7. Параболаның бағытын анықтаңыз. Параболаның жоғарғы жағы не екенін білгеннен кейін, сіз таулы немесе аңғарлы параболамен айналысып жатқаныңызды білуіңіз керек, яғни саңылау төменгі жағында немесе жоғарғы жағында орналасқан. Бақытымызға орай, бұл өте оңай. Егер «а» оң болса, сіз аңғар параболасымен айналысасыз; егер «а» теріс болса, бұл тау параболасы (саңылауы төменгі жағында)
   • 1 мысалда біз (f (x) = 2x + 16x + 39) функциясымен айналысамыз, сондықтан бұл аңғар параболасы, өйткені a = 2 (оң)).
   • 2 мысалда біз f (x) = 4 (x - 5) + 12) функциясымен айналысамыз, және бұл аңғар параболасы, өйткені a = 4 (оң).
8. Қажет болса, параболаның қиылысу нүктелерін анықтаңыз. Математикалық есептерден параболаның х осімен қиылыстарын беру сұралғанда (олар «нөл», а немесе екі парабола х осімен қиылысатын немесе соқтығысатын нүктелер). Сұранбаса да, дәл осы графиканы сала білу үшін өте маңызды. Бірақ барлық параболалардың х осімен қиылысуы болмайды. Егер сіз аңғар параболасымен айналысатын болсаңыз, ал аңғар нүктесі х осінен жоғары немесе тау параболасы жағдайында х осінен сәл төмен болса, онда жай қиылысатын нүктелер табылмайды. Олай болса, келесі әдістердің бірін қолданыңыз:
   • F (x) = 0 екенін анықтап, теңдеуін шешіңіз. Бұл әдіс қарапайым квадрат теңдеулерде, әсіресе шың түрінде жұмыс істеуі мүмкін, бірақ функциялар күрделене түскен сайын, бұл қиынға соғады. Төменде бірнеше мысалдар келтірілген.
     • f (x) = 4 (x - 12)
     • 0 = 4 (x - 12) - 4
     • 4 = 4 (x - 12)
     • 1 = (x - 12)
     • SqRt (1) = (x - 12)
     • +/- 1 = x -12. x = 11 және 13 параболаның х осімен қиылысу нүктелері болып табылады.
   • Теңдеудің факторы. Ax + bx + c түріндегі кейбір теңдеулерді (dx + e) ​​(fx + g) ретінде оңай жазуға болады, мұндағы dx × fx = ax, (dx × g + fx × e) = bx және e × g = c. Бұл жағдайда x қиылыстары - х-тің мәндері, мұндағы жақшаның ішіндегі әрбір мүше 0-ге тең болады. Мысалы:
     • x + 2x + 1
     • = (x + 1) (x + 1)
     • Бұл жағдайда қиылысу нүктесі -1-ге тең болады, өйткені екі факторға да енгізілгенде ол нөлге тең болады.
   • Abc формуласын қолданыңыз. Егер қиылыстарды анықтау немесе теңдеуді көбейту оңай болмаса, осы мақсат үшін арнайы «abc формуласын» қолданыңыз. Ax + bx + c түріндегі теңдеу қабылдаңыз. Содан кейін a, b және c мәндерін x = (-b +/- SqRt (b - 4ac)) / 2a формуласына енгізіңіз. Назар аударыңыз, бұл көбінесе x үшін екі жауап береді, бұл жақсы - бұл сіздің параболаңыздың x осімен екі қиылысы бар екенін білдіреді. Міне мысал:
     • -5x + 1x + 10 теңдеуіне келесі түрде енгізіңіз:
     • x = (-1 +/- SqRt (1 - 4 (-5) (10))) / 2 (-5)
     • x = (-1 +/- SqRt (1 + 200)) / - 10
     • x = (-1 +/- SqRt (201)) / - 10
     • x = (-1 +/- 14.18) / - 10
     • x = (13.18 / -10) және (-15.18 / -10). Параболаның х осімен қиылысу нүктелері шамамен x = -1,318 және 1,518
     • 2х + 16х + 39 теңдеуімен 1 мысалында келесідей болады:
     • x = (-16 +/- SqRt (16 - 4 (2) (39))) / 2 (2)
     • x = (-16 +/- SqRt (256 - 312)) / 4
     • x = (-16 +/- SqRt (-56) / - 10
     • Теріс санның квадрат түбірін табу мүмкін болмағандықтан, бұл парабола үшін х осімен қиылысу нүктелері жоқ екенін білеміз.
9. Қажет болса, параболаның у осімен қиылысын анықтаңыз. Көбінесе бұл қиылысты табу қажет емес, кейде қажет, мысалы, математикалық есептер үшін. Бұл өте оңай - x-тің мәнін 0-ге теңестіріп, f (x) немесе y теңдеуін шешіңіз, бұл сізге параболаның у осімен қиылысатын нүктесінің у мәнін береді. Х осі арқылы қиылысу нүктелерінен айырмашылығы - у осінде әрқашан тек бір қиылысу нүктесі болады. Ескерту - стандартты теңдеулермен у осімен қиылысу у = с болады.
   • Мысалы, біздің 2х + 16х + 39 квадрат теңдеуінің y = 39 қиылысы бар екенін білеміз, бірақ оны келесідей табуға болады:
     • f (x) = 2x + 16x + 39
     • f (x) = 2 (0) + 16 (0) + 39
     • f (x) = 39. Параболаның у осімен қиылысы: у = 39. Жоғарыда көрсетілгендей қиылысу нүктесін оңай оқи аламыз, өйткені y = c.
   • 4 (х - 5) + 12 теңдеуінің у осімен қиылысы бар, оны келесідей табуға болады:
     • f (x) = 4 (x - 5) + 12
     • f (x) = 4 (0 - 5) + 12
     • f (x) = 4 (-5) + 12
     • f (x) = 4 (25) + 12
     • f (x) = 112. у осімен қиылысу: у = 112.
10. Егер сіз мұны қажет деп санасаңыз, алдымен қосымша ұпайларды, содан кейін бүкіл графикті салыңыз. Енді сізде теңдеулердің х осімен және, мүмкін, у осімен қиылысу нүктелері немесе төбесі, бағыты, бағыты болуы керек. Осы сәттен бастап параболаны осы нүктелер арқылы салуға немесе графикті дәлірек ету үшін көбірек нүктелер табуға тырысуға болады. Мұны жасаудың ең қарапайым тәсілі - x мәндерін енгізу, бұл y мәндерінің санын қайтарады. Параболаны салуды бастамас бұрын сізден (мұғалім) бірнеше ұпайларды есептеу сұралады.
    • X + 2x + 1 теңдеуін тағы бір қарастырайық. Біз x осімен жалғыз қиылысу (-1,0) болатынын білеміз. Ол тек осы кезде x осіне тиетін болғандықтан, графиктің жоғарғы жағы осы нүктеге тең болатындығын анықтай аламыз. Әзірге бізде параболаның бір ғана нүктесі бар - график сызуға жеткіліксіз. Біздің құндылықтарымыз көбірек екеніне көз жеткізу үшін тағы бірнеше ұпайларды табайық.
      • Келесі х мәндеріне сәйкес келетін у мәндерін табуға тырысайық: 0, 1, -2 және -3.
      • x = 0: f (x) = (0) + 2 (0) + 1 = 1. Сонда нүкте (0,1).
      • x = 1: f (x) = (1) + 2 (1) + 1 = 4. Онда нүкте (1,4).
      • x = -2: f (x) = (-2) + 2 (-2) + 1 = 1. Сонда нүкте (-2,1).
      • x = -3: f (x) = (-3) + 2 (-3) + 1 = 4. Онда нүкте (-3,4).
      • Осы нүктелерді графикке орналастырыңыз және параболаңызды салыңыз. Парабола толығымен симметриялы екеніне назар аударыңыз - егер сіз графиктің бір жағындағы нүктелерді білсеңіз, онда сіз осы нүктелерді пайдаланып, симметрия осінің екінші жағындағы нүктелерді табу арқылы көп жұмысыңызды үнемдей аласыз.

Кеңестер

• Қажет болса, сандарды дөңгелектеңіз немесе бөлшектерді қолданыңыз. Бұл диаграмманы дұрыс көрсетуге көмектеседі.
• Егер f (x) = ax + bx + c функциясы үшін b немесе c нөлге тең болса, онда бұл мүшелер жоғалып кететінін ескеріңіз. Мысалы, 12х + 0х + 6 12х + 6-ға тең болады, өйткені 0х 0-ге тең.