Матрицаны қалай бөлуге болады

Вызшақ: Матрицалар және оларға амалдар қолдану

Мазмұны

Қысқаша қорытынды
Қадамдар
3 бөлімнің 1 бөлігі: Матрицалардың бөлінгіштігін тексеру
3 бөліктің 2 бөлігі: Кері матрицаны табу
3 бөліктің 3 бөлігі: матрицалық көбейту
Кеңестер
Ескертулер
Қосымша мақалалар

Егер сіз екі матрицаны көбейтуді білсеңіз, матрицаны «бөлуді» бастауға болады. «Бөлу» сөзі тырнақшаға алынған, себебі матрицаны бөлуге болмайды. Бөлу операциясы бір матрицаны екінші матрицаның кері матрицасына көбейту операциясымен ауыстырылады. Қарапайымдылық үшін бүтін сандары бар мысалды қарастырыңыз: 10 ÷ 5. 5: 5 немесе₅, содан кейін көбейту арқылы бөлуді ауыстырыңыз: 10 x 5; бөлу мен көбейтудің нәтижесі бірдей болады. Сондықтан бөлуді кері матрицаның көбейтуімен алмастыруға болады деп есептеледі. Әдетте мұндай есептеулер сызықтық теңдеулер жүйесін шешу үшін қолданылады.

Қысқаша қорытынды

Сіз матрицаны бөле алмайсыз. Бөлудің орнына бір матрица екінші матрицаның кері санына көбейтіледі. [A] ÷ [B] екі матрицаның «бөлінуі» былай жазылады: [A] * [B] немесе [B] * [A].
Егер [B] матрицасы квадрат болмаса немесе оның детерминанты 0 болса, «біржақты шешім жоқ» деп жазыңыз. Олай болмаған жағдайда [B] матрицасының анықтаушысын тауып, келесі қадамға өтіңіз.
Кері табыңыз: [B].
[A] * [B] немесе [B] * [A] табу үшін матрицаларды көбейтіңіз. Есіңізде болсын, матрицаларды көбейту тәртібі соңғы нәтижеге әсер етеді (яғни нәтижелер әр түрлі болуы мүмкін).

Қадамдар

3 бөлімнің 1 бөлігі: Матрицалардың бөлінгіштігін тексеру

1 Матрицалардың «бөлінуін» түсіну. Шындығында матрицаларды бөлуге болмайды. «Бір матрицаны екіншісіне бөлу» сияқты математикалық амал жоқ. Бөлу бір матрицаны екінші матрицаның кері санына көбейтумен ауыстырылады. Яғни [A] ÷ [B] белгісі дұрыс емес, сондықтан ол келесі жазумен ауыстырылады: [A] * [B]. Скалярлық мәндер жағдайында екі жазба да эквивалентті болғандықтан, теориялық тұрғыда матрицаның «бөлінуі» туралы айтуға болады, бірақ дұрыс терминологияны қолданған дұрыс.
- [A] * [B] және [B] * [A] әр түрлі амалдар екенін ескеріңіз. Мүмкін болатын шешімдерді табу үшін екі операцияны да орындау қажет болуы мүмкін.
- Мысалы, орнына ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ жаз ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$ .
  Сізге есептеу қажет болуы мүмкін ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} }$ басқа нәтиже алу үшін.
2 Басқа матрицаны «бөлетін» матрицаның квадрат екеніне көз жеткізіңіз. Матрицаны төңкеру үшін (матрицаның кері түрін табыңыз) ол шаршы болуы керек, яғни жолдар мен бағандар саны бірдей. Егер төңкерілген матрица кері болмаса, онда нақты шешім болмайды.
- Тағы да, бұл жерде матрицалар «бөлінбейді». [A] * [B] операциясында сипатталған шарт [B] матрицасына жатады. Біздің мысалда бұл шарт матрицаға қатысты ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
- Төңкеруге болатын матрица деградацияланбаған немесе тұрақты деп аталады. Төңкеруге болмайтын матрицаны деградацияланған немесе дара деп атайды.
3 Екі матрицаны көбейтуге болатынын тексеріңіз. Екі матрицаны көбейту үшін бірінші матрицадағы бағандар саны екінші матрицадағы жолдар санына тең болуы керек. Егер бұл шарт [A] * [B] немесе [B] * [A] жазбасында орындалмаса, онда шешім жоқ.
- Мысалы, егер [A] матрицасының өлшемі 4 x 3 және [B] матрицасының өлшемі 2 x 2 болса, онда шешім жоқ. Сіз [A] * [B] көбейте алмайсыз, себебі 4 ≠ 2, және [B] * [A] көбейте алмайсыз, себебі 2 ≠ 3.
- Назар аударыңыз, [B] кері матрицасы әрқашан [B] бастапқы матрицасы сияқты жолдар мен бағандар санымен бірдей. Екі матрицаны көбейтуге болатынын тексеру үшін кері матрицаны табу қажет емес.
- Біздің мысалда екі матрицаның өлшемі 2 x 2, сондықтан оларды кез келген ретпен көбейтуге болады.
4 2 × 2 матрицаның анықтауышын табыңыз. Есіңізде болсын: матрицаны оның детерминанты нөлге тең болмаған жағдайда ғана төңкеруге болады (әйтпесе матрицаны төңкеруге болмайды). 2х2 матрицаның детерминантын қалай табуға болады:
- 2 x 2 матрица: матрицаның анықтаушысы ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ bc -ге тең. Яғни, негізгі диагональ элементтерінің көбейтіндісінен (оң жақ жоғарғы және төменгі оң жақ бұрыштар арқылы өтеді), басқа диагональ элементтерінің өнімдерін шығарыңыз (жоғарғы оң және төменгі сол жақ бұрыштар арқылы өтеді).
- Мысалы, матрицаның анықтаушысы ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ тең (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13. тең. Детерминант нөл емес, сондықтан бұл матрицаны төңкеруге болады.
5 Үлкенірек матрицаның анықтауышын табыңыз. Егер матрицаның өлшемі 3х3 немесе одан көп болса, детерминантты есептеу сәл қиынырақ.
- 3 x 3 матрица: кез келген элементті таңдап, ондағы жол мен бағанды сызып тастаңыз.Алынған 2 × 2 матрицаның детерминантын табыңыз, содан кейін оны таңдалған элементке көбейтіңіз; арнайы кестеде анықтауыштың белгісін көрсетіңіз. Бұл процесті сіз таңдаған элементпен бір жолда немесе бағанда орналасқан басқа екі элемент үшін қайталаңыз. Содан кейін алынған (үш) анықтауыштың қосындысын табыңыз. 3 х 3 матрицаның детерминантын табу туралы қосымша ақпарат алу үшін осы мақаланы оқыңыз.
- Үлкен матрицалар: мұндай матрицалардың анықтаушысы графикалық калькулятормен немесе бағдарламалық жасақтамамен жақсы ізделеді. Бұл әдіс 3 × 3 матрицаның анықтауышын табу әдісіне ұқсас, бірақ оны қолмен қолдану өте жалықтырады. Мысалы, 4 х 4 матрицаның анықтауышын табу үшін 3 х 3 төрт матрицаның анықтауыштарын табу керек.
6 Есептеулерді жалғастырыңыз. Егер матрица квадрат болмаса немесе оның детерминанты нөлге тең болса, «біржақты шешім жоқ» деп жазыңыз, яғни есептеу процесі аяқталды. Егер матрица төртбұрышты және нөлдік емес детерминанты болса, келесі бөлімге өтіңіз.

3 бөліктің 2 бөлігі: Кері матрицаны табу

1 2 x 2 матрицаның негізгі диагоналінің элементтерін ауыстырыңыз. 2 × 2 матрицасын ескере отырып, жылдам кері әдісті қолданыңыз. Алдымен жоғарғы сол жақ элементті және төменгі оң жақ элементті ауыстырыңыз. Мысалға:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
- Ескерту: Көптеген адамдар 3х3 (немесе одан да үлкен) матрицаны аудару үшін калькуляторларды пайдаланады. Егер мұны қолмен жасау қажет болса, осы бөлімнің соңына өтіңіз.
2 Қалған екі элементті алмастырмаңыз, олардың белгісін өзгертіңіз. Яғни, жоғарғы оң жақ элемент пен төменгі сол жақ элементті -1-ге көбейтіңіз:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3 Анықтауыштың кері санын табыңыз. Бұл матрицаның детерминанты алдыңғы бөлімде табылған, сондықтан біз оны қайта есептемейміз. Анықтауыштың кері мәні былай жазылады: 1 / (анықтауыш):
- Біздің мысалда анықтауыш - 13. Кері мән: ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$ .
4 Алынған матрицаны анықтауыштың кері санына көбейту. Жаңа матрицаның әрбір элементін анықтауыштың кері санына көбейту. Соңғы матрица бастапқы 2х2 матрицасына кері болады:
- ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { бастау {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
  = ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} және { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} және { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$
5 Есептеулердің дұрыстығын тексеріңіз. Ол үшін бастапқы матрицаны керісінше көбейту керек. Егер есептеулер дұрыс болса, бастапқы матрицаның көбейтіндісі керісінше сәйкестік матрицасын береді: (1001){ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}... Егер тест сәтті болса, келесі бөлімге өтіңіз.
- Біздің мысалда: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} және { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} және { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$ .
- Матрицаны көбейту туралы қосымша ақпарат алу үшін осы мақаланы оқыңыз.
- Ескерту: матрицаны көбейту операциясы коммутативті емес, яғни матрицалардың реті маңызды. Бірақ бастапқы матрицаны оның кері санына көбейткенде, кез келген тәртіп сәйкестік матрицасына әкеледі.
6 3х3 матрицасына кері санды табыңыз (немесе үлкенірек). Егер сіз бұл процесспен таныс болсаңыз, графикалық калькуляторды немесе арнайы бағдарламалық жасақтаманы қолданған дұрыс. Егер кері матрицаны қолмен табу қажет болса, процесс төменде қысқаша сипатталған:
- Бастапқы матрицаның оң жағында I сәйкестендіру матрицасына қосылыңыз. Мысалы, [B] → [B | Мен]. Сәйкестендіру матрицасы үшін негізгі диагональдың барлық элементтері 1 -ге тең, ал қалған барлық элементтер 0 -ге тең.
- Матрицаны оның сол жағы сатылы болатындай жеңілдетіңіз; сол жақ сәйкестендіру матрицасына айналатындай жеңілдетуді жалғастырыңыз.
- Оңайлатудан кейін матрица келесі формада болады: [I | B]. Яғни, оның оң жағы бастапқы матрицаның кері жағы.

3 бөліктің 3 бөлігі: матрицалық көбейту

1 Мүмкін болатын екі өрнекті жазыңыз. Екі скалярды көбейту операциясы коммутативті, яғни 2 x 6 = 6 x 2.Матрицалық көбейту жағдайында бұлай болмайды, сондықтан сізге екі өрнекті шешу қажет болуы мүмкін:
- x = [A] * [B] - теңдеудің шешімі x[B] = [A].
- x = [B] * [A] - [B] теңдеуінің шешіміx = [A].
- Әр математикалық операцияны теңдеудің екі жағында орындаңыз. Егер [A] = [C] болса, онда [B] [A] C [C] [B] себебі [B] [A] -ның сол жағында, бірақ [C] оң жағында.
2 Соңғы матрицаның көлемін анықтаңыз. Соңғы матрицаның мөлшері көбейтілген матрицалардың көлеміне байланысты. Қорытынды матрицадағы жолдар саны бірінші матрицадағы жолдар санына тең, ал соңғы матрицадағы бағандар саны екінші матрицадағы бағандар санына тең.
- Біздің мысалда екі матрицаның өлшемі ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ және ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} және { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} және { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$ 2 x 2, сондықтан бастапқы матрицаның өлшемі 2 x 2 болады.
- Неғұрлым күрделі мысалды қарастырайық: егер [A] матрицасының өлшемі 4 x 3, ал [B] матрицасының өлшемі 3 x 3, онда соңғы матрица [A] * [B] 4 x 3 болады.
3 Бірінші элементтің мәнін табыңыз. Бұл мақаланы оқыңыз немесе келесі негізгі қадамдарды есте сақтаңыз:
- [A] [B] соңғы матрицасының бірінші элементін (бірінші жол, бірінші баған) табу үшін [A] матрицасының бірінші қатары мен [B матрицасының бірінші бағанының элементтерінің нүктелік көбейтіндісін есептеңіз. ]. 2х2 матрица жағдайында нүктелік өнім келесідей есептеледі: ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$ .
- Біздің мысалда: ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} және { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} және { frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$ ... Осылайша, соңғы матрицаның бірінші элементі келесі элемент болады:
  ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
  ${ displaystyle = 3 + -4}$
  ${ displaystyle = -1}$
4 Ақырғы матрицаның әрбір элементін табу үшін нүктелік өнімдерді есептеуді жалғастырыңыз. Мысалы, екінші жолда және бірінші бағанда орналасқан элемент [A] матрицасының екінші қатары мен [B] матрицасының бірінші бағанының нүктелік көбейтіндісіне тең. Қалған заттарды өзіңіз табуға тырысыңыз. Сіз келесі нәтижелерді алуыңыз керек:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} және { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} және { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { бастау {pmatrix} -1 және 10 7 & -5 соңы {pmatrix}}}$
- Егер сізге басқа шешім қажет болса: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} және { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} және { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 аяқтау {pmatrix}}}$

Кеңестер

Матрицаны скалярға бөлуге болады; бұл үшін матрицаның әрбір элементі скалярға бөлінеді.
- Мысалы, егер матрица ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ 2 -ге бөлінгенде сіз матрицаны аласыз ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

Ескертулер

Калькулятор матрицалық есептеулерге келгенде әрқашан нақты нәтиже бермейді. Мысалы, егер калькулятор бұл элементті өте аз сан деп есептесе (мысалы, 2E), бұл мән нөлге тең.