Мазмұны

• Қадамдар
• 2 -ден 1 -ші бөлім: Негізгі факторларды табу
• 2 -ден 2 -ші бөлім: Prime Factors қолдану
• Тапсырмалардың мысалдары
• Кеңестер
• Ескертулер

Кез келген натурал санды негізгі факторлардың көбейтіндісіне бөлуге болады. Егер сізге 5733 сияқты үлкен сандармен жұмыс жасау ұнамаса, оларды факторлауды үйреніңіз (бұл жағдайда 3 x 3 x 7 x 7 x 13). Ақпараттық қауіпсіздік мәселелерімен айналысатын криптографияда ұқсас тапсырма жиі кездеседі. Егер сіз өзіңіздің қауіпсіз электрондық пошта жүйеңізді құруға әлі дайын болмасаңыз, алдымен сандарды факторлауды үйреніңіз.

Қадамдар

2 -ден 1 -ші бөлім: Негізгі факторларды табу

1. 1 Факторингтің не екенін біліңіз. Санның факторлар көбейтіндісіне ыдырауы - оны кіші бөліктерге «бөлу» процесі.Көбейтілгенде бұл бөліктер немесе факторлар бастапқы санды береді.
   • Мысалы, 18 санын келесі өнімдерге бөлуге болады: 1 x 18, 2 x 9 немесе 3 x 6.
2. 2 Жай сандар не екенін есте сақтаңыз. Жай сан қалдықсыз тек екі санға бөлінеді: өздігінен және 1 -ге. Мысалы, 5 санын 5 пен 1 ​​-дің көбейтіндісі ретінде көрсетуге болады. Бұл санды басқа факторларға ыдыратуға болмайды. Санды жай көбейткіштерге жіктеудің мақсаты - оны жай сандардың туындысы ретінде көрсету. Бұл әсіресе бөлшектермен жұмыс жасау кезінде пайдалы, себебі оларды салыстыруға және жеңілдетуге мүмкіндік береді.
3. 3 Бастапқы нөмірден бастаңыз. 3 -тен үлкен құрама санды таңдаңыз. Жай санды алудың мағынасы жоқ, себебі ол тек өзіне және бірге бөлінеді.
   • Мысалы: 24 санын жай сандардың көбейтіндісіне бөлейік.
4. 4 Бұл санды екі фактордың көбейтіндісіне бөлейік. Өнімі бастапқы санға тең болатын екі кіші санды табыңыз. Кез келген факторды қолдануға болады, бірақ жай сандарды алу оңайырақ. Жақсы әдістердің бірі - бастапқы санды алдымен 2 -ге, содан кейін 3 -ке, содан кейін 5 -ке бөліп, осы жай сандардың қайсысын қалдықсыз бөлетінін тексеру.
   • Мысалы: Егер сіз 24 факторды білмесеңіз, оны кіші сандарға бөліп көріңіз. Осылайша сіз берілген сан 2: 24 = -ке бөлінетінін білесіз 2 x 12... Бұл жақсы бастама.
   • 2 - жай сан болғандықтан, жұп сандарды көбейту кезінде оны қолданған дұрыс.
5. 5 Мультипликатор ағашын құруды бастаңыз. Бұл қарапайым әдіс сізге санды анықтауға көмектеседі. Бастау үшін бастапқы саннан төмен екі «бұтақ» сызыңыз. Әр тармақтың соңында табылған факторларды жазыңыз.
   • Мысал:
   •    24
   •     /
   • 2    12
6. 6 Келесі сандар қатарын факторлаңыз. Жаңа екі санды (мультипликатор ағашының екінші қатары) қараңыз. Екеуі де жай сандар ма? Егер олардың біреуі қарапайым болмаса, оны екі факторға бөліңіз. Тағы екі бұтақ жасаңыз және ағаштың үшінші жолына екі жаңа факторды жазыңыз.
   • Мысал: 12 жай сан емес, сондықтан оны көбейткіштерге бөлу керек. 12 = 2 x 6 ыдырауды қолданыңыз және оны ағаштың үшінші жолына жазыңыз:
   •    24
   •     /
   • 2   12
   •        /
   • 2 x 6
7. 7 Ағаштан төмен қарай жүріңіз. Егер жаңа факторлардың бірі жай сан болып шықса, одан бір «бұтақ» шығарып, соңына сол санды жаз. Жай сандарды кіші факторларға кеңейту мүмкін емес, сондықтан оларды бір деңгейге төмендетіңіз.
   • Мысал: 2 - қарапайым. 2 -ні екіншіден үшінші жолға жылжытыңыз:
   •      24
   •       /
   •    2   12
   •   /       /
   • 2     2   6
8. 8 Тек жай сандар қалғанша сандарды көбейтуді жалғастырыңыз. Ағаштың әрбір жаңа жолын тексеріңіз. Егер жаңа факторлардың кем дегенде біреуі жай сан болмаса, оны көбейтіп, жаңа жолды жазыңыз. Ақыр соңында сізде жай сандар ғана қалады.
   • Мысал: 6 - бұл жай сан емес, сондықтан оны көбейту керек. Сонымен қатар, 2 - бұл қарапайым сан, және біз екеуін келесі деңгейге көтереміз:
   •         24
   •          /
   •       2    12
   •      /       /
   •    2     2    6
   •   /      /      /
   • 2     2      2   3
9. 9 Соңғы жолды қарапайым факторлардың туындысы ретінде жазыңыз. Ақыр соңында сізде жай сандар ғана қалады. Бұл кезде негізгі факторизация аяқталады. Соңғы жол - бұл жай сан, оның көбейтіндісі бастапқы санды береді.
   • Жауапты тексеріңіз: соңғы жолдағы сандарды көбейтіңіз. Нәтиже бастапқы нөмір болуы керек.
   • Мысал: факторлық ағаштың соңғы жолында 2 және 3 сандары бар. Бұл сандардың екеуі де қарапайым, сондықтан ыдырау аяқталды. Осылайша, 24 -тің негізгі факторизациясы келесі формада болады: 24 = 2 x 2 x 2 x 3.
   • Факторлардың реті маңызды емес. Бөлінуді 2 x 3 x 2 x 2 түрінде де жазуға болады.
10. 10 Қажет болса, экспоненциалды жазуды қолдана отырып, жауабыңызды жеңілдетіңіз. Егер сіз сандардың экспонентациясын білсеңіз, жауапты қарапайым түрде жаза аласыз.Есіңізде болсын, база төменгі жағында жазылады, ал үстіңгі жол нөмірі бұл базаны қанша рет өздігінен көбейту керектігін көрсетеді.
    • Мысал: табылған 2 х 2 х 2 х 3 ыдырауда 2 саны неше рет кездеседі? Үш рет, сондықтан 2 x 2 x 2 өрнегін 2 деп жазуға болады. Жеңілдетілген жазуда біз аламыз 2 x 3.

2 -ден 2 -ші бөлім: Prime Factors қолдану

1. 1 Екі санның ең үлкен ортақ бөлгішін табыңыз. Екі санның ең үлкен ортақ бөлгіші (GCD) - бұл екі сан да қалдықсыз бөлінетін ең үлкен сан. Төмендегі мысалда 30 мен 36 -ның ең үлкен ортақ бөлгішін табу үшін қарапайым факторизацияны қолдану әдісі көрсетілген.
   • Екі санды да негізгі факторларға бөлейік. 30 үшін факторизация 2 x 3 x 5 болады. 36 саны келесідей жай факторларға жіктеледі: 2 x 2 x 3 x 3.
   • Екі кеңейтілімде де кездесетін санды табайық. Бұл санды екі тізімде де сызып тастап, жаңа жолға жазайық. Мысалы, 2 екі кеңейтілімде кездеседі, сондықтан біз жазамыз 2 жаңа жолда. Осыдан кейін бізде 30 = бар 2 x 3 x 5 және 36 = 2 x 2 x 3 x 3.
   • Кеңейтулерде жалпы факторлар қалмағанша осы қадамды қайталаңыз. Екі тізімде де 3 саны бар, сондықтан сіз жаңа жолға жаза аласыз 2 және 3... Содан кейін кеңейтімдерді қайтадан салыстырыңыз: 30 = 2 x 3 x 5 және 36 = 2 x 2 x 3 х 3. Көріп отырғаныңыздай, оларда ортақ факторлар қалған жоқ.
   • Ең үлкен ортақ факторды табу үшін барлық ортақ факторлардың туындысын табыңыз. Біздің мысалда бұл 2 және 3, сондықтан gcd 2 x 3 = 6... Бұл 30 мен 36 сандарын біркелкі бөлетін ең үлкен сан.
2. 2 GCD көмегімен бөлшектерді жеңілдетуге болады. Егер сіз бөлшекті жоюға болады деп күдіктенсеңіз, ең үлкен ортақ факторды қолданыңыз. Жоғарыдағы процедураны қолдана отырып, бөлгіш пен бөлгіштің GCD табыңыз. Содан кейін бөлшектің алымы мен бөлімін сол санға бөліңіз. Нәтижесінде сіз бірдей бөлшекті қарапайым түрде аласыз.
   • Мысалы, бөлшекті жеңілдетейік /₃₆... Жоғарыда айтқанымыздай, 30 және 36 үшін GCD 6 -ға тең, сондықтан біз бөлгіш пен бөлгішті 6 -ға бөлеміз:
   • 30 ÷ 6 = 5
   • 36 ÷ 6 = 6
   • /₃₆ = /₆
3. 3 Екі санның ең кіші ортақ еселігін табыңыз. Екі санның ең кіші ортақ еселігі (LCM) - екі санға біркелкі бөлінетін ең кіші сан. Мысалы, 2 мен 3 -тің LCM саны 6 -ға тең, себебі ол 2 -ге және 3 -ке бөлінетін ең кіші сан. Төменде қарапайым факторизация көмегімен LCM табудың мысалы келтірілген:
   • Екі негізгі факторизациядан бастайық. Мысалы, 126 үшін факторизацияны 2 x 3 x 3 x 7 түрінде жазуға болады. 84 санын 2 x 2 x 3 x 7 деп жай көбейткіштерге жіктеуге болады.
   • Әр фактор кеңеюде қанша рет кездесетінін салыстырайық. Мультипликатор максималды рет болатын тізімді таңдап, осы жерді дөңгелектеңіз. Мысалы, 2 саны 126 кеңейтілімінде бір рет және 84 үшін тізімде екі рет пайда болады, сондықтан сіз дөңгелектеуіңіз керек 2 x 2 факторлардың екінші тізімінде.
   • Бұл қадамды әр мультипликатор үшін қайталаңыз. Мысалы, 3 бірінші кеңеюде жиі кездеседі, сондықтан оны дөңгелектеу керек 3 x 3... 7 саны екі тізімде бір рет пайда болады, сондықтан біз шеңбер жасаймыз 7 (егер берілген фактор екі тізімде бірдей рет кездессе, қай тізімде маңызды емес).
   • LCM табу үшін дөңгелектелген барлық сандарды көбейтіңіз. Біздің мысалда 126 мен 84 сандарының ең кіші ортақ еселігі 2 x 2 x 3 x 3 x 7 = 252... Бұл 126 мен 84 -ке қалдықсыз бөлінетін ең кіші сан.
4. 4 Бөлшектерді қосу үшін LCM пайдаланыңыз. Екі бөлшекті қосқанда оларды ортақ бөлімге жеткізу қажет. Ол үшін екі бөлгіштің LCM табыңыз. Содан кейін әрбір бөлшектің алымы мен бөлімін бөлшектердің бөлгіштері LCM -ге тең болатындай санға көбейтіңіз. Осыдан кейін бөлшектерді қосуға болады.
   • Мысалы, сіз соманы табуыңыз керек /₆ + /₂₁.
   • Жоғарыда көрсетілген әдісті қолдана отырып, сіз 6 және 21 үшін LCM таба аласыз. Бұл 42.
   • Біз бөлшекті түрлендіреміз /₆ осылайша оның бөлгіші 42 -ге тең болады. Ол үшін 42 -ні 6 -ға бөлу керек: 42 ÷ 6 = 7. Енді бөлшектің алымы мен бөлгішін 7 -ге көбейту керек: /₆ x /₇ = /₄₂.
   • Екінші бөлшекті 42 бөліміне келтіру үшін 42 -ні 21 -ге бөліңіз: 42 ÷ 21 = 2. Бөлшектің бөлгіші мен бөлімін 2 -ге көбейтіңіз: /₂₁ x /₂ = /₄₂.
   • Бөлшектерді бірдей бөлгішке келтіргеннен кейін оларды оңай қосуға болады: /₄₂ + /₄₂ = /₄₂.

Тапсырмалардың мысалдары

• Төмендегі мәселелерді өзіңіз шешуге тырысыңыз.Егер сіз дұрыс жауап алдым деп ойласаңыз, проблема операторындағы қос нүктеден кейінгі орынды тышқанмен белгілеңіз. Соңғы тапсырмалар ең қиын.
• 16: 2 x 2 x 2 x 2 үшін жай көбейткішті табыңыз
• Жауапты экспоненциалды түрде жазыңыз: 2
• 45: 3 x 3 x 5 жай көбейткішті табыңыз
• Жауапты экспоненциалды түрде жазыңыз: 3 x 5
• 34: 2 x 17 үшін жай көбейткішті табыңыз
• 154: 2 x 7 x 11 жай көбейткішті табыңыз
• 8 мен 40 -тың жай көбейткіштерін табыңыз, содан кейін олардың ең үлкен ортақ факторын анықтаңыз: 8 -дің жай көбейткіштері 2 x 2 x 2 x 2; 40 -тың негізгі факторизациясы - 2 x 2 x 2 x 5; 2 x 2 x 2 = 6 екі саннан тұратын GCD.
• 18 және 52 сандарының жай көбейткіштерін табыңдар және олардың ең кіші ортақ еселіктерін табыңдар: 18 -дің жай көбейткіштері 2 х 3 х 3; 52 -нің негізгі факторизациясы - 2 x 2 x 13; Екі санның LCM - 2 x 2 x 3 x 3 x 13 = 468.

Кеңестер

• Әр санның өзіне тән факторизаторлық ерекшелігі бар. Бұл кеңейтуді қалай табудың маңызды емес, сіз дәл сол жауаппен аяқталуыңыз керек. Бұл арифметиканың негізгі теоремасы деп аталады.
• Жай сандарды факторлық ағаштың жаңа жолына қайта жазудың орнына, оларды орнында қалдырып, жай ғана дөңгелектеуге болады. Кеңейтудің соңында оған барлық негізгі факторлар қосылады.
• Әрқашан алынған жауапты тексеріңіз. Сіз қате жібере аласыз және оны байқамайсыз.
• Қиын миссияларға дайын болыңыз. Егер сізден жай санның жай көбейткішін табу сұралса, ешқандай есептеулер жүргізудің қажеті жоқ. Мысалы, 17 саны үшін негізгі факторизация 17; бұл санды басқа негізгі факторларға бөлуге болмайды.
• Ең үлкен ортақ коэффициент пен ең кіші ортақ еселікті үш немесе одан да көп сандар бойынша табуға болады.

Ескертулер

• Мультипликатор ағашы барлық мүмкін факторларды емес, тек негізгі факторларды анықтауға мүмкіндік береді.