Мазмұны

• Қадамдар
• 3 -тің 1 -бөлігі: Факторингтік биномиялар
• 3 -тің 2 -бөлігі: Теңдеулерді шешуге арналған факторинг биномдары
• 3 бөлімнің 3 бөлігі: Күрделі есептерді шешу
• Кеңестер
• Ескертулер

Биномия (биномия) - екі термині бар математикалық өрнек, олардың арасында плюс немесе минус белгісі бар, мысалы: ${ Displaystyle ax + b}$... Бірінші мүшеге айнымалы кіреді, ал екіншісіне оны қосады немесе кіргізбейді. Биномды факторингке көбейту кезінде оны шешуге немесе жеңілдетуге арналған бастапқы биномды шығаратын терминдерді табуды қамтиды.

Қадамдар

3 -тің 1 -бөлігі: Факторингтік биномиялар

1. 1 Факторинг процесінің негіздерін түсіну. Биномды факторингке қосқанда, бастапқы биномның әрбір мүшесінің бөлгіші болып табылатын фактор жақшадан алынады. Мысалы, 6 саны толығымен 1, 2, 3, 6 -ға бөлінеді. Осылайша, 6 санының бөлгіштері 1, 2, 3, 6 сандары болып табылады.
   • Бөлгіштер 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
   • Кез келген санның бөлгіштері 1 және санның өзі. Мысалы, 3 -тің бөлгіштері 1 және 3.
   • Бүтін бөлгіштер тек бүтін сандар бола алады. 32 санын 3.564 немесе 21.4952 -ге бөлуге болады, бірақ сіз бүтін санды емес, ондық бөлшекті аласыз.
2. 2 Факторинг процесін жеңілдету үшін биномдық шарттарға тапсырыс беріңіз. Бином - бұл екі терминнің қосындысы немесе айырмашылығы, олардың кем дегенде бірінде айнымалысы бар. Кейде айнымалылар күшке көтеріледі, мысалы ${ displaystyle x ^ {2}}$ немесе ${ Displaystyle 5y ^ {4}}$... Биномның шарттарын экспоненттердің өсу ретімен реттеген дұрыс, яғни ең кіші дәрежесі бар термин алдымен жазылады, ал ең үлкені - соңғы. Мысалға:
   • ${ Displaystyle 3t + 6}$ → ${ Displaystyle 6 + 3t}$
   • ${ Displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ Displaystyle x ^ {2} -2}$ → ${ displaystyle -2 + x ^ {2}}$
     • 2 алдындағы минус таңбасына назар аударыңыз. Егер термин алынып тасталса, оның алдына минус белгісін жазыңыз.
3. 3 Екі мүшенің ең үлкен ортақ бөлгішін (GCD) табыңыз. GCD - биномияның екі мүшесі де бөлінетін ең үлкен сан. Ол үшін әрбір мүшенің бөлгіштерін биномнан табыңыз, содан кейін ең үлкен ортақ бөлгішті таңдаңыз. Мысалға:
   • Тапсырма:${ Displaystyle 3t + 6}$.
     • Бөлгіштер 3: 1, 3
     • Бөлгіштер 6: 1, 2, 3, 6.
     • GCD = 3.
4. 4 Әр мүшені биномиалдағы ең үлкен ортақ бөлгішке (GCD) бөліңіз. GCD -ны болдырмау үшін мұны жасаңыз. Назар аударыңыз, биномияның әрбір мүшесі азаяды (себебі ол бөлінеді), бірақ егер GCD жақшадан алынып тасталса, соңғы өрнек түпнұсқаға тең болады.
   • Тапсырма:${ Displaystyle 3t + 6}$.
   • GCD табыңыз: 3
   • Әр биномдық терминді gcd -ге бөліңіз:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 Бөлгішті жақшадан алып тастаңыз. Бұрын сіз биномның екі мүшесін 3 -ші бөлгішке бөліп, алдыңыз ${ Displaystyle t + 2}$... Бірақ сіз 3 -тен құтыла алмайсыз - бастапқы және соңғы өрнектердің мәндері тең болу үшін жақшаның сыртына 3 қою керек және жақшаға бөлу нәтижесінде алынған өрнекті жазу керек. Мысалға:
   • Тапсырма:${ Displaystyle 3t + 6}$.
   • GCD табыңыз: 3
   • Әр биномдық терминді gcd -ге бөліңіз:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • Бөлгішті алынған өрнекке көбейтіңіз:${ Displaystyle 3 (t + 2)}$
   • Жауап: ${ Displaystyle 3 (t + 2)}$
6. 6 Жауабыңызды тексеріңіз. Ол үшін жақшаның алдындағы мүшені жақшаның ішіндегі әрбір мүшеге көбейту керек. Егер сіз бастапқы биномды алсаңыз, шешім дұрыс. Енді мәселені шешіңіз ${ Displaystyle 12t + 18}$:
   • Мүшелерге тапсырыс беріңіз:${ Displaystyle 18 + 12t}$
   • GCD табыңыз:${ Displaystyle 6}$
   • Әр биномдық терминді gcd -ге бөліңіз:${ Displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • Бөлгішті алынған өрнекке көбейтіңіз:${ Displaystyle 6 (3 + 2t)}$
   • Жауапты тексеріңіз:${ Displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

3 -тің 2 -бөлігі: Теңдеулерді шешуге арналған факторинг биномдары

1. 1 Биномды факторды көбейтіп, теңдеуді шешіңіз. Бір қарағанда, кейбір теңдеулерді шешу мүмкін емес сияқты (әсіресе күрделі биномдармен). Мысалы, теңдеуді шешіңіз ${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$... Бұл теңдеуде күштер бар, сондықтан алдымен өрнекті ескеріңіз.
   • Тапсырма:${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Есіңізде болсын, биномиалдың екі мүшесі бар. Егер өрнекте көбірек терминдер болса, көпмүшелерді шешуді үйрен.
2. 2 Нөл теңдеудің бір жағында қалатындай етіп теңдеудің екі жағына да мономиалды қосыңыз немесе азайтыңыз. Факторизация кезінде теңдеулердің шешімі нөлге көбейтілген кез келген өрнек нөлге тең болатын өзгермейтін фактіге негізделген. Сондықтан, егер теңдеуді нөлге теңесек, онда оның кез келген факторы нөлге тең болуы керек. Теңдеудің бір жағын 0 -ге орнатыңыз.
   • Тапсырма:${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Нөлге қойыңыз:${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}$
     • ${ Displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3. 3 Алынған қоқыс жәшігінің факторы. Мұны алдыңғы бөлімде сипатталғандай жасаңыз. Ең үлкен ортақ факторды (GCD) табыңыз, оған биномиалдың екі мүшесін бөліңіз, содан кейін жақшадан факторды шығарыңыз.
   • Тапсырма:${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Нөлге қойыңыз:${ Displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
   • Фактор:${ Displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4. 4 Әр факторды нөлге орнатыңыз. Алынған өрнекте 2y 4 - y -ге көбейтіледі және бұл өнім нөлге тең. Кез келген өрнекті (немесе терминді) нөлге көбейту нөлге тең болғандықтан, 2y немесе 4 - y - 0. Алынған мономиалды және биномиалды нөлге қойып, «y» мәнін табыңыз.
   • Тапсырма:${ Displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Нөлге қойыңыз:${ Displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
   • Фактор:${ Displaystyle 2y (4-y) = 0}$
   • Екі факторды да 0 -ге орнатыңыз:
     • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ Displaystyle 4-y = 0}$
5. 5 Қорытынды жауапты (немесе жауаптарды) табу үшін алынған теңдеулерді шешіңіз. Әр фактор нөлге тең болғандықтан, теңдеудің бірнеше шешімі болуы мүмкін. Біздің мысалда:
   • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0
   • ${ Displaystyle 4-y = 0}$
     • ${ Displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4
6. 6 Жауабыңызды тексеріңіз. Ол үшін табылған мәндерді бастапқы теңдеуге ауыстырыңыз. Егер теңдік шын болса, онда шешім дұрыс. Табылған мәндерді «y» орнына ауыстырыңыз. Біздің мысалда y = 0 және y = 4:
   • ${ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ displaystyle 0 + 0 = 0}$
     • ${ displaystyle 0 = 0}$Бұл дұрыс шешім
   • ${ Displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ Displaystyle 20-32 = -12}$
     • ${ Displaystyle -12 = -12}$Және бұл дұрыс шешім

3 бөлімнің 3 бөлігі: Күрделі есептерді шешу

1. 1 Есіңізде болсын, айнымалысы бар терминді факторландыруға болады, тіпті егер айнымалы мән дәрежеге көтерілсе де. Факторингті жүргізгенде, биномияның әрбір мүшесін интегралды түрде бөлетін мономиалды табу керек. Мысалы, мономиалды ${ Displaystyle x ^ {4}}$ факторизациялауға болады ${ Displaystyle x * x * x * x}$... Яғни, егер биномияның екінші мүшесінде «x» айнымалысы болса, онда жақша ішінен «x» шығарылуы мүмкін. Осылайша, айнымалыларды бүтін сандар ретінде қарастырыңыз. Мысалға:
   • Биномияның екі мүшесі ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ құрамында «t» бар, сондықтан «t» жақшадан шығарылуы мүмкін: ${ Displaystyle t (2 + t)}$
   • Сондай -ақ, қуатқа көтерілген айнымалы жақшадан шығарылуы мүмкін. Мысалы, биномияның екі мүшесі ${ Displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ қамтиды ${ displaystyle x ^ {2}}$, солай ${ displaystyle x ^ {2}}$ жақшадан шығаруға болады: ${ displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2. 2 Биномды алу үшін ұқсас терминдерді қосыңыз немесе азайтыңыз. Мысалы, өрнекті ескере отырып ${ Displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$... Бір қарағанда, бұл көпмүше, бірақ іс жүзінде бұл өрнекті биномға айналдыруға болады. Ұқсас терминдерді қосыңыз: 6 және 14 (айнымалы жоқ), және 2x және 3x (құрамында «x» айнымалысы бар). Бұл жағдайда факторинг процесі жеңілдетіледі:
   • Түпнұсқа өрнек:${ Displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • Мүшелерге тапсырыс беріңіз:${ Displaystyle 2x + 3x + 14 + 6}$
   • Ұқсас терминдерді қосыңыз:${ Displaystyle 5x + 20}$
   • GCD табыңыз:${ Displaystyle 5 (x) +5 (4)}$
   • Фактор:${ Displaystyle 5 (x + 4)}$
3. 3 Мінсіз квадраттардың айырмашылығын анықтаңыз. Мінсіз квадрат - квадрат түбірі бүтін сан, мысалы ${ Displaystyle 9}$${ Displaystyle (3 * 3)}$, ${ displaystyle x ^ {2}}$${ Displaystyle (x * x)}$ және тіпті ${ displaystyle 144t ^ {2}}$${ Displaystyle (12t * 12t)}$... Егер биномал тамаша квадраттардың айырмашылығы болса, мысалы: ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$, онда ол формуламен факторландырылады:
   • Квадраттар формуласының айырмашылығы:${ Displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a -b)}$
   • Тапсырма:${ Displaystyle 4x ^ {2} -9}$
   • Квадрат түбірлерді шығарыңыз:
     • ${ displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ Displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
   • Табылған мәндерді формулаға ауыстырыңыз: ${ Displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x -3)}$
4. 4 Толық текшелер арасындағы айырмашылықты анықтаңыз. Егер бинома толық текшелердің айырмашылығы болса, мысалы: ${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}$, онда ол арнайы формуланың көмегімен факторизацияланады. Бұл жағдайда биномияның әрбір мүшесінен текше түбірін алу қажет және табылған мәндерді формуламен алмастыру қажет.
   • Текшелер арасындағы айырмашылық формуласы:${ Displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a -b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • Тапсырма:${ Displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Текше тамырларды алыңыз:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Табылған мәндерді формулаға ауыстырыңыз: ${ Displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x -3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 Толық текшелердің қосындысының факторы. Керемет квадраттардың қосындысынан айырмашылығы, мысалы, толық текшелердің қосындысы ${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}$, арнайы формуланың көмегімен факторизациялауға болады. Бұл текшелер арасындағы айырмашылықтың формуласына ұқсас, бірақ белгілер керісінше. Формула өте қарапайым - оны қолдану үшін есептегі толық текшелердің қосындысын табыңыз.
   • Текше қосындысының формуласы:${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • Тапсырма:${ Displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Текше тамырларды алыңыз:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Табылған мәндерді формулаға ауыстырыңыз: ${ Displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

Кеңестер

• Кейде биномды мүшелердің ортақ бөлгіші болмайды. Кейбір тапсырмаларда мүшелер жеңілдетілген түрде беріледі.
• Егер сіз GCD дереу таба алмасаңыз, кішкене сандарға бөлуден бастаңыз. Мысалы, егер сіз 32 және 16 сандарының GCD 16 екенін көрмесеңіз, екі санды да 2 -ге бөліңіз. Сіз 16 мен 8 аласыз; бұл сандарды 8 -ге бөлуге болады. Енді сіз 2 және 1 аласыз; бұл сандарды азайту мүмкін емес. Осылайша, берілген санның ортақ бөлгіші болып табылатын үлкен сан бар екені анық (8 мен 2 -ге қарағанда).
• Назар аударыңыз, алтыншы ретті мүшелер (мысалы, 6 экспонентімен, x)-бұл тамаша квадраттар мен тамаша текшелер. Осылайша, алтыншы ретті мүшелері бар биномиалдарға, мысалы, x - 64, квадраттар мен текшелердің айырмашылығының формулаларын қолдануға болады (кез келген тәртіпте). Бірақ биноммен дұрыс ыдырау үшін алдымен квадраттар айырмасының формуласын қолданған дұрыс.

Ескертулер

• Мінсіз квадраттардың қосындысы болатын биномды факторизациялауға болмайды.