Мазмұны

• Басу үшін
• 4-тен 1-әдіс: Бөлуге тырысыңыз
• 4-тен 2-әдіс: Ферманың кішкентай теоремасын қолдану
• 4-тің 3 әдісі: Миллер-Рабин тестін қолдану
• 4-тің 4 әдісі: Қытайдың қалған теоремасын қолдану
• Кеңестер
• Қажеттіліктер

Жай сандар дегеніміз - тек өздеріне бөлінетін және 1 - басқа сандар деп аталатын сандар қосылыс сандар. Сандардың жай екенін тексеруге келетін болсақ, бірнеше нұсқа бар. Осы әдістердің кейбіреулері салыстырмалы түрде қарапайым, бірақ үлкен сандар үшін мүлдем практикалық емес. Жиі қолданылатын басқа тесттер - біреуіне негізделген толық алгоритмдер ықтималдық кейде қате санды қарапайым деп санайтындар. Егер сіз қарапайым санмен жұмыс жасасаңыз, өзіңізді қалай тексеруге болатынын білу үшін 1-қадамды оқыңыз.

Басу үшін

4-тен 1-әдіс: Бөлуге тырысыңыз

Бөлуге тырысу - санды тексерудің ең оңай әдісі. Кішкентай сандар үшін бұл әдетте ең жылдам жол болып табылады. Тест қарапайым санның анықтамасына негізделеді: егер сан тек өзіне және 1-ге бөлінетін болса, жай болады.

1. Айталық n бұл сіз тексергісі келетін нөмір. N санын барлық мүмкін бөлінетін бүтін сандарға бөліңіз. N = 101 сияқты үлкен сандар үшін n-ден кіші кез келген мүмкін бүтін санға бөлу өте тиімді емес. Бақытымызға орай, тексерілетін факторлардың санын азайтудың бірнеше амалы бар.
2. Егер анықталса n тіпті. Барлық жұп сандар толығымен 2-ге бөлінеді. Сондықтан, егер n жұп болса, оны айтуға болады n - құрама сан (демек, жай сан емес). Санның жұп екенін тез анықтау үшін тек соңғы цифрға назар аудару керек. Егер соңғы цифр 2, 4, 6, 8 немесе 0 болса, онда бұл сан жұп және жай емес.
   • Бұл ережеге жалғыз ерекшелік - бұл 2 санының өзі, өйткені ол өзіне және 1-ге бөлінеді, сонымен қатар ол жай болып табылады. 2 - бұл жалғыз жұп.
3. Бөлім n 2 мен n-1 аралығындағы кез келген санмен. Жай санның өзінен және 1-ден басқа факторлары жоқ болғандықтан және бүтін факторлар олардың көбейтіндісінен аз болғандықтан, бүтін санның n-ден кіші және 2-ден үлкен бөлінгіштігін тексеру n-дің жай ма екенін анықтайды. Біз 2-ден кейін бастаймыз, өйткені жұп сандар (2-дің көбейткіштері) жай сандар бола алмайды. Бұл тестілеудің тиімді тәсілінен алыс, мұны төменде көресіз.
   • Мысалы, егер біз бұл әдісті 11-дің жай немесе жоқтығын тексеру үшін қолданғымыз келсе, онда 11-ді 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 және 10-ға бөліп, бүтін санның жауабын қалдықсыз іздейтін едік. Бұл сандардың ешқайсысы 11-ге толық сәйкес келмегендіктен, 11-ді бір деп айтуға болады қарапайым.
4. Уақытты үнемдеу үшін тек sqrt (n), дөңгелектелген. N санын 2 мен n-1 арасындағы барлық сандарды тексеру арқылы тексеру өте көп уақытты алады. Мысалы, егер біз осы әдіспен 103-тің қарапайым екенін тексергіміз келсе, оны 3-ке, 4-ке, 5-ке, 6-ға, 7-ге ... және т.б. бөлу керек, 102-ге дейін! Бақытымызға орай, осылай тестілеудің қажеті жоқ. Іс жүзінде тек 2 мен n-нің квадрат түбірі арасындағы факторларды тексеру қажет. Егер n-нің квадрат түбірі сан болмаса, оны бүтін санға дейін дөңгелектеп, осы санға тексеріңіз. Түсіндіру үшін төменнен қараңыз:
   • 100 факторларын қарастырайық. 100 = 1 × 100, 2 × 50, 4 × 25, 5 × 20, 10 × 10, 20 × 5, 25 × 4, 50 × 2 және 100 × 1. 10 × 10-дан кейін факторлар бірдей болатынын ескеріңіз егер бұл 10 × 10 болса, содан кейін ғана аударылды. Жалпы, біз n-дің sqrt (n) -дан үлкен факторларын ескермеуге болады, өйткені олар жай sqrt (n) -дан аз факторлардың жалғасы болып табылады.
   • Мысал келтіріп көрейік. Егер n = 37 болса, онда бізге n-нің жай екенін анықтау үшін 3-тен 36-ға дейінгі сандардың барлығын тексерудің қажеті жоқ. Оның орнына тек 2 мен sqrt (37) арасындағы сандарды қарау керек (дөңгелектелген).
     • sqrt (37) = 6.08 - біз мұны 7-ге дейін айналдырамыз.
     • 37 3-ке, 4-ке, 5-ке, 6-ға және 7-ге толығымен бөлінбейді, сондықтан біз оны бір деп сенімді түрде айта аламыз жай сан болып табылады.
5. Уақытты үнемдеу үшін біз тек қарапайым факторларды қолданамыз. Жай сандар емес факторларды қоспай, одан да қысқа бөлу арқылы тестілеу процесін жасауға болады. Анықтама бойынша әр құрама санды екі немесе одан да көп жай сандардың көбейтіндісі ретінде көрсетуге болады. Сонымен, n санын құрама санға бөлудің қажеті жоқ - бұл жай сандарға бірнеше рет бөлуге тең. Сонымен, ықтимал факторлар тізімін sqrt (n) -ден кіші жай сандарға дейін тарылта аламыз.
   • Бұл жай жұп факторларды, сондай-ақ жай сандардың еселі факторларын өткізіп жіберуге болатындығын білдіреді.
   • Мысалы, 103-тің жай немесе жоқ екенін анықтауға тырысайық. 103-тің квадрат түбірі 11-ге тең (дөңгелектелген). 2 мен 11 арасындағы жай сандар 3, 5, 7 және 11. 4, 6, 8 және 10 жұп, ал 9 - 3-ке еселік, жай сан, сондықтан оны өткізіп жібере аламыз. Осылайша, біз мүмкін факторлар тізімін тек 4 санға дейін қысқарттық!
     • 103 3-ке, 5-ке, 7-ге де, 11-ге де толық бөлінбейді, сондықтан қазір 103-тің бір екенін білеміз жай сан болып табылады.

4-тен 2-әдіс: Ферманың кішкентай теоремасын қолдану

1640 жылы француз математигі Пьер де Ферма санның жай немесе жоқтығын анықтауға өте пайдалы болатын теореманы (қазір оның атымен аталады) ұсынды. Техникалық тұрғыдан алғанда, Ферманың тесті санның қарапайым емес, құрама екенін тексеруге арналған. Себебі тест «абсолютті сенімділікпен» санның құрама екенін көрсете алады, бірақ санның жай екендігінің «ықтималдығын» ғана көрсетеді. Ферманың кішігірім теоремасы бөлуге тырысу мүмкін емес жағдайларда және теоремаға ерекше сандар тізімі болған кезде пайдалы.

1. Айталық n нөмір тестілеуге арналған. Берілген n санының жай екенін анықтау үшін осы тестті қолданасыз. Алайда, жоғарыда атап өткендей, бұл теорема кейбір қосылыстарды жай ретінде сипаттауы мүмкін. Мұны ескеру және төменде түсіндірілген жауабыңызды тексеру маңызды.
2. Бүтін санды таңдаңыз а 2 мен n-1 (қоса алғанда). Сіз таңдаған толық сан маңызды емес. Қосудың параметрлері 2 және n-1 болғандықтан, оларды қолдануға болады.
   • Мысал: 100-ге тең немесе жоқ. Біз алдық делік 3 сынақ мәні ретінде - бұл 2 мен n-1 аралығында, сондықтан жеткілікті.
3. есептеу а (мод n). Осы өрнекті пысықтау үшін математикалық жүйені білу қажет модульдік математика. Модульдік математикада сандар белгілі бір мәнге жеткенде нөлге оралады, және модуль. Сіз бұл туралы сағат сияқты ойлауға болады: ақыр соңында сағат тілі сағат 13-ке емес, 12-ден кейін 1-ге оралады. Модуль ретінде белгіленеді (мод n). Сонымен, бұл қадамда n модулімен a есептейсіз.
   • Тағы бір әдіс - а-ны есептеу, сосын оны n-ге бөлу, содан кейін қалғанын жауап ретінде қолдану. Модульдік функциясы бар мамандандырылған калькуляторлар үлкен сандарды бөлу кезінде өте пайдалы болуы мүмкін, өйткені олар бөлудің қалдығын бірден есептей алады.
   • Біздің мысалда осындай калькуляторды қолдана отырып, 3/100 қалдықтың 1-ге тең екенін көре аламыз, 3 (mod 100) 1.
4. Егер біз мұны қолмен есептесек, көрсеткішті қысқа формат ретінде қолданамыз. Егер сізде модуль функциясы бар калькулятор болмаса, қалдықты анықтау процедурасын жеңілдету үшін көрсеткіші бар жазуды қолданыңыз. Төменде қараңыз:
   • Біздің мысалда 100-ді модульмен 3-ті есептейміз. 3 өте үлкен сан - 515,377,520,732,011,331,036,461,129,765,621,272,702,107,522,001 - соншалықты үлкен, сондықтан жұмыс істеу өте қиын болады. 48 таңбалы жауабын 3-ке қолданғаннан гөрі, оны дәреже түрінде жазғанымыз жөн, солай (((((((3)*3))))*3)). Көрсеткіштің көрсеткішін алу көрсеткіштерді көбейтуге әсер ететінін ұмытпаңыз ((x) = x).
     • Енді қалғанын анықтай аламыз. Ішкі жақша ішіндегі ((((((((3) * 3)))) * 3)) шешуден бастаңыз және әр қадамды 100-ге бөле отырып, шығыңыз. Қалғанын тапқаннан кейін оны нақты жауапқа емес, келесі қадамға қолданамыз. Төменде қараңыз:
       • ((((((((9) * 3)))) * 3)) - 9/100 қалдықтары жоқ, сондықтан жалғастыра аламыз.
       • ((((((27)))) * 3)) - 27/100 қалдық жоқ, сондықтан біз әрі қарай жүре аламыз.
       • ((((729))) * 3)) - 729/100 = 7 R 29. Біздің қалдық 29. Біз 729 емес, келесі қадаммен жалғастырамыз.
       • ((((29=841)) * 3)) - 841/100 = 8 R 41. Келесі сатыда 41 қалдықты қайтадан қолданамыз.
       • (((41 = 1681) * 3)) - 1681/100 = 16 R 81. Біз қалдықты 81 келесі қадамда қолданамыз.
       • ((81*3 = 243)) - 243/100 = 2 R 43. Біз қалған 43-ті келесі қадамда қолданамыз.
       • (43 = 1849) - 1849/100 = 18 R 49. Біз қалған 49-ны келесі қадамда қолданамыз.
       • 49 = 2401 - 2401/100 = 24 R 1. біздің соңғы қалдық 1. Басқаша айтқанда, 3 (mod 100) = 1. Бұл алдыңғы қадамда есептегендегідей жауап екенін ескеріңіз!
5. Егер жоқ болса, біліңіз а (мод n) = а (мод n). Егер жоқ болса, n құрама болып табылады. Егер шын болса, онда n мүмкін, (бірақ сенімді емес) жай сан Тестті әр түрлі мәндермен қайталау нәтижені нақтырақ ете алады, бірақ Ферма теоремасын қанағаттандыратын сирек кездесетін сандар бар барлық а мәндері.Оларды Кармайкл сандары деп атайды - бұл сандардың ең кішісі - 561.
   • Біздің мысалда 3 (mod 100) = 1 және 3 (mod 100) = 3.1 ≠ 3, сондықтан 100-ді құрама сан деп айтуға болады.
6. Сіздің нәтижеңізге сенімді болу үшін Кармайкл сандарын пайдаланыңыз. Іске кіріспес бұрын Кармикаил сериясымен сәйкес келетін қандай сандарды білу санның жай ма, жоқ па деген мазасыздықтан арылтады. Жалпы, Кармайкл сандары жеке жай сандардың көбейтіндісі болып табылады, мұндағы барлық жай сандар үшін p егер n-дің бөлгіші болса, онда p-1-дің n-1-дің бөлгіші болады деп санайды. Кармайкл сандарының Интернеттегі тізімі Ферманың кіші теоремасын қолдана отырып, санның жай екенін анықтау үшін өте пайдалы болуы мүмкін.
   
   

4-тің 3 әдісі: Миллер-Рабин тестін қолдану

Миллер-Рабин тесті Ферманың кішігірім теоремасымен бірдей жұмыс істейді, бірақ Кармайкл сандары сияқты стандартты емес сандармен жақсы жұмыс істейді.

1. Айталық n бұл тақ сан, біз оны басымдылыққа тексергіміз келеді. Жоғарыда көрсетілген әдістердегідей, n - біз оның бастапқы мәнін анықтағымыз келетін айнымалы.
2. Қысым n-1 2 × түрінде г. ол кезде г. тақ. N саны жай болса, егер жай болса. Сонымен n - 1 жұп болуы керек. N - 1 жұп болғандықтан, оны тақ санның 2 есе күші түрінде жазуға болады. Сонымен, 4 = 2 × 1; 80 = 2 × 5; және тағы басқа.
   • $ N = 321 $ қарапайым екенін анықтағымыз келеді делік. 321 - 1 = 320, біз оны өрнектей аламыз 2 × 5.
     • Бұл жағдайда n = 321 қолайлы сан болып табылады. N - 371 үшін n - 1 анықтау d үшін үлкен мәнді қажет етуі мүмкін, бұл кейінгі кезеңде бүкіл процесті қиындатады. 371 - 1 = 370 = 2 × 185
3. Кез келген нөмірді таңдаңыз а 2 мен n-1. Сіз таңдаған нақты нөмір маңызды емес, тек оның n-ден аз және 1-ден үлкен болуы керек.
   • N = 321 мысалында a = таңдаймыз 100.
4. есептеу а (мод n). Егер а = 1 немесе -1 (мод n), содан кейін өтеді n Миллер-Рабин сынағы мүмкін жай сан Ферманың кіші теоремасындағы сияқты, бұл тест санның басымдылығын абсолютті түрде анықтай алмайды, бірақ қосымша тексерулерді қажет етеді.
   • Біздің мысалда n = 321, a (mod n) = 100 (mod 321). 100 = 10,000,000,000 (мод 321) = 313. Қалғаны 100/321 болатынын табу үшін арнайы калькуляторды немесе жоғарыда сипатталғандай стенографиялық әдісті қолданамыз.
     • Біз 1 немесе -1 алмағандықтан, n-ді жай деп нақты айта алмаймыз. Бізге әлі көп нәрсе қажет - оқыңыз.
5. Нәтиже 1 немесе -1-ге тең емес болғандықтан, есептеңіз а, а, ... және т.б., дейін аг.. D есе, 2-ге дейінгі деңгейге көтерілгенді есептеңіз. Егер олардың кез-келгені 1 немесе -1-ге тең болса (мод n), содан кейін өтеді n Миллер-Рабин сынақтан өткізеді және ол ең жақсы шығар. Егер сіз n тестілеуден өтетіндігін анықтасаңыз, онда өз жауабыңызды тексеріңіз (төмендегі қадамды қараңыз). Егер n осы сынақтардың кез-келгенінен өтпесе, онда бұл біреуі құрастырылған нөмір.
   • Естеріңізге сала кетейік, біздің мысалда a мәні 100, s мәні 6, d 5-ге тең. Біз тестілеуді төменде көрсетілгендей жалғастырамыз:
     • 100 = 1 × 10.
       • 1 × 10 (мод 321) = 64.64 ≠’ 1 немесе -1. Сабырлы түрде жүре беріңіз.
     • 100 = 1 × 10.
       • 1 × 10 (мод 321) = 244.244 ≠ 1 немесе -1.
     • Осы сәтте біз тоқтай аламыз. s - 1 = 6 - 1 = 5. Біз қазір 4d = 2-ге жеттік, ал 5d-ден төмен 2 есе d-дің күші жоқ. Біздің есептеулеріміздің ешқайсысы 1 немесе -1 деңгейіне жауап бермейтіндіктен, n = 321 бір деп айта аламыз құрастырылған нөмірі
6. Егер n Миллер-Рабин сынағынан өтеді, басқа мәндерін қайталаңыз а. Егер сіз n-дің мәні қарапайым болатынын анықтасаңыз, тест нәтижесін растау үшін a-ның басқа кездейсоқ мәнімен қайталап көріңіз. Егер n мәні жай болса, ол а-ның кез-келген мәні үшін дұрыс болады, егер $ n $ құрама сан болса, $ a $ мәнінің төрттен үші үшін сәтсіздікке ұшырайды, бұл сізге Ферманың кіші теоремасына қарағанда әлдеқайда сенімділік береді, мұнда белгілі құрама сандар (Кармикаэль сандары) а-ның кез-келген мәніне тест тапсырады.

4-тің 4 әдісі: Қытайдың қалған теоремасын қолдану

1. Екі санды таңдаңыз. Сандардың бірі жай емес, ал екіншісі - басымдылыққа тексерілетін сан.
   • «Тест нөмірі1» = 35
   • Сынақ нөмірі2 = 97
2. Сәйкесінше TestNumber1 және TestNumber2 мәндерінен нөлден үлкен және аз екі деректер нүктесін таңдаңыз. Олар бір-біріне тең бола алмайды.
   • Мәліметтер1 = 1
   • Деректер2 = 2
3. Тест нөмірі1 және тест нөмірі2 үшін MMI (математикалық мультипликативті кері) есептеңіз
   • MMI есептеңіз
     • MMI1 = Сынақ нөмірі2 ^ -1 Mod сынақ нөмірі1
     • MMI2 = Сынақ нөмірі1 ^ -1 Mod тест нөмірі2
   • Тек жай сандар үшін (жай емес сандардың нәтижесі болады, бірақ бұл MMI емес):
     • MMI1 = (TestNumber2 ^ (TestNumber1-2))% TestNumber1
     • MMI2 = (TestNumber1 ^ (TestNumber-2))% TestNumber2
   • Сонымен:
     • MMI1 = (97 ^ 33)% 35
     • MMI2 = (35 ^ 95)% 97
4. Модульдің Log2 дейін әр MMI үшін екілік кесте құрыңыз
   • MMI1 үшін
     • F (1) = Тест нөмірі2% Тест нөмірі1 = 97% 35 = 27
     • F (2) = F (1) * F (1)% Тест нөмірі1 = 27 * 27% 35 = 29
     • F (4) = F (2) * F (2)% Тест нөмірі1 = 29 * 29% 35 = 1
     • F (8) = F (4) * F (4)% Тест нөмірі1 = 1 * 1% 35 = 1
     • F (16) = F (8) * F (8)% Сынақ нөмірі1 = 1 * 1% 35 = 1
     • F (32) = F (16) * F (16)% Тест нөмірі1 = 1 * 1% 35 = 1
   • TestNumber1 - 2 екілік логарифмін есептеңіз
     • 35 -2 = 33 (10001) негіз 2
     • MMI1 = F (33) = F (32) * F (1) mod 35
     • MMI1 = F (33) = 1 * 27 Mod 35
     • MMI1 = 27
   • MMI2 үшін
     • F (1) = Тест нөмірі1% Тест нөмірі2 = 35% 97 = 35
     • F (2) = F (1) * F (1)% Тест нөмірі2 = 35 * 35 mod 97 = 61
     • F (4) = F (2) * F (2)% Тест нөмірі2 = 61 * 61 mod 97 = 35
     • F (8) = F (4) * F (4)% Тест нөмірі2 = 35 * 35 mod 97 = 61
     • F (16) = F (8) * F (8)% Тест нөмірі2 = 61 * 61 mod 97 = 35
     • F (32) = F (16) * F (16)% Тест нөмірі2 = 35 * 35 mod 97 = 61
     • F (64) = F (32) * F (32)% Тест нөмірі2 = 61 * 61 mod 97 = 35
     • F (128) = F (64) * F (64)% Тест нөмірі2 = 35 * 35 mod 97 = 61
   • TestNumber2 - 2 екілік логарифмін есептеңіз
     • 97 - 2 = 95 = (1011111) 2-негіз
     • MMI2 = (((((F (64) * F (16)% 97) * F (8)% 97) * F (4)% 97) * F (2)% 97) * F (1)% 97)
     • MMI2 = ((((((35 * 35)% 97) * 61)% 97) * 35% 97) * 61% 97) * 35% 97)
     • MMI2 = 61
5. Есептеңіз (Data1 * TestNumber2 * MMI1 + Data2 * TestNumber1 * MMI2)% (TestNumber1 * TestNumber)
   • Жауап = (1 * 97 * 27 + 2 * 35 * 61)% (97 * 35)
   • Жауап = (2619 + 4270)% 3395
   • Жауап = 99
6. «TestNumber1» қарапайым емес екенін тексеріңіз
   • Есептеңіз (жауап - мәліметтер1)% тест нөмірі1
   • 99 -1 % 35 = 28
   • 28 0-ден үлкен болғандықтан, 35 жай емес
7. TestNumber2 мәнінің қарапайым екенін тексеріңіз
   • Есептеңіз (жауап - мәліметтер2)% тест нөмірі2
   • 99 - 2 % 97 = 0
   • 0 0-ге тең болғандықтан, 97 ықтимал жай сан болып табылады
8. 1-7 қадамдарды кем дегенде тағы екі рет қайталаңыз.
   • Егер 7-қадам 0-ге тең болса:
     • Егер TestNumber1 қарапайым болмаса, басқа «TestNumber1» пайдаланыңыз.
     • TestNumber1 шын мәнінде қарапайым болатын басқа TestNumber1 қолданыңыз. Бұл жағдайда 6 және 7 қадамдар 0-ге тең болады.
     • Мәліметтер1 және деректер2 үшін әр түрлі деректер нүктелерін қолданыңыз.
   • Егер 7-қадам әрқашан 0-ге тең болса, онда 2 санының жай сан болу ықтималдығы өте үлкен.
   • Бірінші сан жай емес, ал екіншісі жай емес санның жай көбейткіші болған кезде белгілі бір жағдайларда 1-ден 7-қадамға дейін қате екендігі белгілі «Тест нөмірі1». Ол екі сандар да қарапайым болатын барлық сценарийлерде жұмыс істейді.
   • 1-ден 7-ге дейінгі қадамдардың қайталану себебі бірнеше сценарийлердің болуы, өйткені TestNumber1 қарапайым емес болса және TestNumber2 қарапайым емес болса да, 7-қадамнан шыққан екі сан әлі де нөлге тең болады. Бұл жағдайлар сирек кездеседі. TestNumber1-ді басқа жай емес санға ауыстыру арқылы, егер TestNumber2 жай емес болса, 7-қадамда TestNumber2 нөлге тең болмайды, «TestNumber1» TestNumber2 коэффициенті болған жағдайды қоспағанда, жай сандар әрқашан нөлге тең болады. 7-қадам.

Кеңестер

• 168 жай сандар 1000-ға тең: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997
• Бөлуге тырысу неғұрлым күрделі әдістерге қарағанда баяу, ол кішігірім сандар үшін тиімді. Үлкен сандарды тексерген кезде де, жетілдірілген әдістерге ауыспас бұрын алдымен кіші сандарды тексеру сирек емес.

Қажеттіліктер

• Жұмысқа арналған қағаз, қалам, қарындаш және / немесе калькулятор