Мазмұны

• Басу үшін
• 3-тен 1-әдіс: Ауыстыру әдісін қолдану
• 3-тен 2-әдіс: Жою әдісін қолдану
• 3-тің 3 әдісі: Теңдеулерді графикке салыңыз
• Кеңестер
• Ескертулер

«Теңдеулер жүйесінде» сізден екі немесе одан да көп теңдеулерді бір уақытта шешу сұралады. Егер осы екеуінде х пен у, немесе а және b сияқты әртүрлі айнымалылар болса, оларды қалай шешуге болатынын бір қарағанда көру қиынға соғады. Бақытымызға орай, не істеу керектігін білгеннен кейін, мәселені шешу үшін сізге математиканың кейбір қарапайым дағдылары қажет (ал кейде кейбір бөлшектер туралы білімдер). Қажет болса, немесе сіз көрнекі студент болсаңыз, теңдеулерді графиктеуді де үйреніңіз. Графикті сызу (салу) «не болып жатқанын көру» үшін немесе сіздің жұмысыңызды тексеру үшін пайдалы болуы мүмкін, бірақ ол басқа әдістерге қарағанда баяу болуы мүмкін және ол барлық теңдеулер жүйелерімен жұмыс істемейді.

Басу үшін

3-тен 1-әдіс: Ауыстыру әдісін қолдану

1. Айнымалыларды теңдеудің әр түрлі жақтарына жылжытыңыз. Бұл «ауыстыру» әдісі теңдеулердің біріндегі «х-ті шешуден» (немесе кез-келген басқа айнымалыдан) басталады. Мысалы, бізде келесі теңдеулер бар: 4x + 2y = 8 және 5х + 3x = 9. Ең алдымен, біз бірінші салыстыруды қарастырамыз. Әр жағынан 2y алып тастап, қайта реттеңіз, сонда сіз: 4x = 8-2y.
   • Бұл әдіс көбінесе фракцияларды кейінгі кезеңде қолданады. Фракциялармен жұмыс жасамауды қаласаңыз, жою әдісін төменде де қолдануға болады.
2. «Х» үшін шешу үшін теңдеудің екі жағын да бөліңіз. Теңдеудің бір жағында x термині болғаннан кейін (немесе қандай да бір айнымалыны қолдансаңыз), айнымалыны оқшаулау үшін теңдеудің екі жағын да бөліңіз. Мысалы:
   • 4x = 8-2y
   • (4х) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
   • x = 2 - ½y
3. Мұны басқа теңдеуге қосыңыз. Қайта оралғанына көз жеткізіңіз Басқалар салыстыру, сіз бұрын қолданған емес. Бұл теңдеуде сіз шешкен айнымалыны ауыстырасыз, тек бір айнымалы қалдырасыз. Мысалы:
   • Сіз енді мұны білесіз: x = 2 - ½y.
   • Сіз әлі өзгермеген екінші теңдеу: 5x + 3x = 9.
   • Екінші теңдеуде х-ті «2 - ½y» -мен ауыстырыңыз: 5 (2 - ½y) + 3y = 9.
4. Қалған айнымалыны шешіңіз. Енді сізде тек бір айнымалысы бар теңдеу бар. Сол айнымалыны шешу үшін жалпы алгебра техникасын қолданыңыз. Егер айнымалылар бірін-бірі жоққа шығарса, соңғы қадамға өтіңіз. Әйтпесе, сіз өзіңіздің айнымалыларыңыздың біріне жауап бересіз:
   • 5 (2 - ½y) + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Егер сіз бұл қадамды түсінбейтін болсаңыз, бөлшектерді қалай қосуға болатындығын біліңіз. Бұл әдіспен жиі, бірақ әрдайым қажет емес).
   • 10 + ½y = 9
   • ½y = -1
   • у = -2
5. Жауапты басқа айнымалы үшін шешу үшін пайдаланыңыз. Мәселені жарты жолда аяқтаған кезде қателеспеңіз. Алғашқы теңдеулердің біріне алған жауабыңызды екінші айнымалы үшін шеше алу үшін қайта енгізуіңіз керек:
   • Сіз енді мұны білесіз: у = -2
   • Бастапқы теңдеулердің бірі: 4x + 2y = 8. (Бұл қадам үшін екі теңдеуді де қолдануға болады).
   • Y орнына -2 қосыңыз: 4x + 2 (-2) = 8.
   • 4х - 4 = 8
   • 4х = 12
   • x = 3
6. Егер екі айнымалы бір-бірін жоққа шығарса, не істеу керектігін біліңіз. Қашан сен x = 3y + 2 немесе басқа теңдеуден ұқсас жауап алсаңыз, тек бір айнымалысы бар теңдеу алуға тырысасыз. Кейде сіз оның орнына теңдеумен аяқталасыз жоқ айнымалылар. Өз жұмысыңызды екі рет тексеріп, бірінші теңдеуді бірінші теңдеуді емес, екінші теңдеудің орнына (қайта құрылған) бірінші теңдеуді қойыңыз. Егер сіз қате жібермегеніңізге сенімді болсаңыз, келесі нәтижелердің бірін аласыз:
   • Егер сіз айнымалысы жоқ теңдеумен аяқталсаңыз және ол дұрыс емес болса (мысалы, 3 = 5), онда сізде мәселе бар шешім жоқ. (Егер сіз теңдеулердің графигін салған болсаңыз, олардың параллель болатынын және ешқашан қиылыспайтынын көресіз).
   • Егер сіз айнымалысыз теңдеуді аяқтасаңыз, бірақ солар жақсы ақиқат (мысалы, 3 = 3), онда оның проблемасы бар шешімдердің шексіз саны. Екі теңдеу дәл тең. (Егер сіз екі теңдеудің графигін жасасаңыз, онда олардың дәл сәйкес келетіндігін көресіз).

3-тен 2-әдіс: Жою әдісін қолдану

1. Жойылатын айнымалыны анықтайды. Кейде теңдеулер сіз оларды қосқан бойда айнымалы түрінде бірін-бірі «жояды». Мысалы, теңдеулерді жасаған кезде 3x + 2y = 11 және 5x - 2y = 13 комбайндар, «+ 2y» және «-2y» бір-бірін жоққа шығарады, барлығымен «y»теңдеулерден алынып тасталады. Айнымалылардың кез-келгені осы жолмен жойылатынын білу үшін сіздің есептеріңіздегі теңдеулерді қараңыз. Егер айнымалылардың ешқайсысы жойылмаса, кеңес алу үшін келесі қадамға өтіңіз.
2. Айнымалыдан бас тарту үшін теңдеуді көбейтіңіз. (Егер айнымалылар бірін-бірі жойып жіберген болса, бұл қадамды өткізіп жіберіңіз). Егер теңдеулердегі айнымалылардың ешқайсысы өздігінен жойылмаса, онда сіз теңдеулердің бірін өзгертетіндей етіп өзгертуіңіз керек. Мұны мысал арқылы түсіну оңай:
   • Сізде теңдеулер жүйесі бар делік 3х - у = 3 және -x + 2y = 4.
   • Бірінші теңдеуді айнымалысы болатындай етіп өзгертейік ж жойылды. (Сіз мұны үшін де жасай аласыз X сол жауапты алыңыз және алыңыз).
   • The - у « бірінші теңдеудің көмегімен жою керек + 2ж Екінші теңдеуде. Біз мұны істей аламыз - ж 2-ге көбейтіңіз.
   • Бірінші теңдеудің екі жағын да 2-ге көбейтеміз: 2 (3x - y) = 2 (3)және, осылайша 6x - 2y = 6. Енді болады - 2ж қарсы құлап + 2ж екінші теңдеуде.
3. Екі теңдеуді біріктіріңіз. Екі теңдеуді үйлестіре алу үшін сол жағы мен оң жағын бірге қосыңыз. Егер сіз теңдеуді дұрыс жазған болсаңыз, айнымалылардың бірі екіншісінен бас тартуы керек. Соңғы қадам сияқты теңдеулерді қолданатын мысал:
   • Сіздің теңдеулеріңіз: 6x - 2y = 6 және -x + 2y = 4.
   • Сол жақтарын біріктіріңіз: 6x - 2y - x + 2y =?
   • Оң жақтарын біріктіріңіз: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
4. Соңғы айнымалыны шешіңіз. Біріктірілген теңдеуді оңайлатыңыз, содан кейін негізгі алгебраның көмегімен соңғы айнымалыны шешіңіз. Егер оңайлатудан кейін айнымалылар қалмаса, осы бөлімдегі соңғы қадамға өтіңіз. Әйтпесе, сіз өзіңіздің айнымалыларыңыздың біріне қарапайым жауап беруіңіз керек. Мысалы:
   • Сенде бар: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
   • Айнымалыларды топтастырыңыз X және ж бір-бірімен: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
   • Жеңілдету: 5х = 10
   • X үшін шешу: (5х) / 5 = 10/5, сондай-ақ x = 2.
5. Басқа айнымалылар үшін шешіңіз. Сіз бір айнымалы таптыңыз, бірақ әлі аяқталған жоқсыз. Басқа айнымалыны шеше алатындай етіп, өзіңіздің жауабыңызды бастапқы теңдеулердің біріне ауыстырыңыз. Мысалы:
   • Сіз мұны білесіз x = 2және бұл сіздің теңдеулеріңіздің бірі 3х - у = 3 болып табылады.
   • X орнына 2 қосыңыз: 3 (2) - y = 3.
   • Y теңдеуінде шешіңіз: 6 - у = 3
   • 6 - у + у = 3 + у, сондықтан 6 = 3 + y
   • 3 = y
6. Екі айнымалы бір-бірін жоққа шығарған кезде не істеу керектігін біліңіз. Кейде екі теңдеуді біріктіру мағынасы жоқ немесе есепті шешуге көмектеспейтін теңдеуге әкеледі. Басынан бастап жұмысыңызды екі рет тексеріңіз, бірақ қателеспесеңіз, келесі жауаптардың бірін жазыңыз:
   • Егер сіздің теңдеуіңіздің айнымалысы жоқ болса және (2 = 7 сияқты) дұрыс болмаса, онда бар шешім жоқ екі теңдеу үшін де орындалады. (Егер сіз екі теңдеудің графигін жасасаңыз, онда сіз олардың параллель екенін және ешқашан қиылыспайтынын көресіз).
   • Егер сіздің құрама теңдеуіңізде айнымалылар болмаса және олар шын болса (мысалы, 0 = 0), онда бар шешімдердің шексіз саны. Екі теңдеу шын мәнінде бірдей. (Егер сіз оларды графикке орналастырсаңыз, онда олар бір-бірімен толығымен қабаттасқанын көресіз).

3-тің 3 әдісі: Теңдеулерді графикке салыңыз

1. Көрсетілген кезде ғана осы әдісті қолданыңыз. Егер сіз компьютерді немесе графикалық калькуляторды пайдаланбасаңыз, көптеген теңдеулер жүйесін тек осы әдісті қолдану арқылы шешуге болады. Мұғалім немесе математика оқулығы сізден осы әдісті қолдануды сұрауы мүмкін, сондықтан сіз сызықтар сияқты графикалық теңдеулермен таныс болуыңыз мүмкін. Сіз бұл әдісті басқа әдістердің кез-келгені бойынша жауаптарыңыздың дұрыстығын тексеру үшін қолдана аласыз.
   • Негізгі идея - сіз екі теңдеудің графигін жасап, олардың қиылысатын нүктесін анықтайсыз. Осы кездегі х пен у мәндері теңдеулер жүйесінде х мен у мәнін береді.
2. У үшін екі теңдеуді шешіңіз. Екі теңдеуді бөлек ұстаңыз және алгебраның көмегімен әр теңдеуді «y = __x + __» түріне ауыстырыңыз. Мысалы:
   • Бірінші теңдеу: 2x + y = 5. Мұны келесіге өзгертіңіз: y = -2x + 5.
   • Екінші теңдеу: -3x + 6y = 0. Мұны өзгертіңіз 6y = 3x + 0, және жеңілдету y = ½x + 0.
   • Екі теңдеу бірдей ме, содан кейін бүкіл сызық «қиылысу нүктесіне» айналады. Жазу: шексіз шешімдер.
3. Координаттар жүйесін салыңыз. Графикалық қағаз парағына тік «у осін» және көлденең «х осін» салыңыз. Сызықтар қиылысатын жерден бастаңыз, 1, 2, 3, 4 және т.с.-терді осьтің жоғарғы жағына және х осінің бойымен қайта белгілеңіз. -1, -2 және т.б сандарды у осі бойымен төмен және солға х осі бойымен белгілеңіз.
   • Егер сізде графикалық қағаз болмаса, сызғышты қолданып, сандардың біркелкі орналасуын тексеріңіз.
   • Егер сіз үлкен сандарды немесе ондық бөлшектерді қолдансаңыз, диаграмманы масштабтау қажет болуы мүмкін. (Мысалы, 1, 2, 3 орнына 10, 20, 30 немесе 0,1, 0,2, 0,3).
4. Әр түзу үшін у қиылысын салыңыз. Сізде формадағы теңдеу болғаннан кейін у = __х + __ сызықты у осін ұстап тұратын нүкте қою арқылы оны графиктен бастауға болады. Бұл әрдайым осы теңдеудегі соңғы санға тең y мәнінде болады.
   • Бұрын аталған мысалдарда бір жол (y = -2x + 5) у осіне 5. Басқа жол (y = ½x + 0) нөлдік нүкте арқылы өтеді 0. (Бұл графиктегі (0,5) және (0,0) нүктелер).
   • Мүмкіндігінше сызықтардың әрқайсысын басқа түспен көрсетіңіз.
5. Сызықтарды салуды жалғастыру үшін көлбеуді пайдаланыңыз. Пішінде у = __х + __, x-ші сан көлбеу сызықтан тыс. Әрбір х-ті өсірген сайын, y мәні көлбеу мәніне қарай өседі. Бұл ақпаратты х = 1 болғандағы әр жолға арналған графиктің нүктесін табу үшін пайдаланыңыз (баламалы, әр теңдеу үшін x = 1 ауыстырып, у-ға шешіңіз).
   • Біздің мысалда жол бар y = -2x + 5 көлбеуі -2. X = 1 кезінде 2 сызығы төмендейді төмен x = 0. нүктесінен (0.5) және (1.3) аралығында түзу кесіндісін салыңыз.
   • Ереже y = ½x + 0көлбеуі бар ½. X = 1 болғанда түзу ½ шығады жоғары x = 0. нүктесінен (0,0) және (1, ½) аралығындағы түзу кесіндісін салыңыз.
   • Жолдар бірдей көлбеу болған кезде түзулер ешқашан қиылыспайды, сондықтан теңдеулер жүйесі үшін шешім жоқ. Жазу: шешім жоқ.
6. Сызықтарды қиылысқанға дейін салуды жалғастырыңыз. Тоқтап, сызбаңызға қараңыз. Егер сызықтар бір-бірінен өтіп кеткен болса, келесі қадамға өтіңіз. Әйтпесе, сіз сызықтардың не істейтініне байланысты шешім қабылдайсыз:
   • Сызықтар бір-біріне қарай жылжыған кезде сіз сол бағытта нүктелер сала бересіз.
   • Егер сызықтар бір-бірінен алыстап бара жатса, артқа қайтып, х = -1-ден бастап басқа бағытта нүктелер салыңыз.
   • Егер сызықтар бір-біріне жақын болмаса, алға секіріп, x = 10 сияқты нүктелерді салыңыз.
7. Түзулер қиылысында жауапты табыңыз. Екі түзу қиылысқаннан кейін, сол нүктедегі х пен у мәндері есептің шешімі болады. Егер сәттілік болса, жауап бүтін сан болады. Мысалы, біздің мысалдарда екі сызық қиылысады (2,1) сіздің жауабыңыз да солай x = 2 және y = 1. Кейбір теңдеу жүйелерінде сызықтар екі бүтін санның арасындағы мән бойынша қиылысады, егер сіздің графигіңіз өте дәл болмаса, мұның қай жерде екенін анықтау қиын болады. Егер бұл жағдай болса, онда сіз келесідей жауап бере аласыз: «х 1 мен 2 аралығында». Нақты жауапты табу үшін ауыстыру әдісін немесе жою әдісін қолдануға болады.

Кеңестер

• Жауаптарды бастапқы теңдеулерге қайтадан енгізу арқылы жұмысыңызды тексеруге болады. Егер теңдеулер дұрыс болса (мысалы, 3 = 3), онда сіздің жауабыңыз дұрыс.
• Жою әдісінде кейде айнымалыны жою үшін теңдеуді теріс санға көбейту керек.

Ескертулер

• Егер сіз x сияқты қуат нөмірімен айналысатын болсаңыз, онда бұл әдістерді қолдану мүмкін емес. Осы типтегі теңдеулер туралы көбірек білу үшін сізге екі айнымалысы бар квадрат квадраттау бойынша нұсқаулық қажет.