Квадрат теңдеулерді шешу - Кеңестер

Вызшақ: 29-сабақ. 8-сынып. Алгебра. Квадрат теңдеулерді шешу. Дискриминант. Келесбаев Жақсылық

Мазмұны

Қадамдар
Кеңес

Квадрат теңдеу - бұл бір айнымалы көпмүшелік, мұндағы 2 - бұл айнымалының ең жоғары дәрежесі. Квадрат теңдеулерді шешудің үш негізгі әдісі бар: 1) егер мүмкін болса, оны көбейт, 2) квадрат формуланы қолдан немесе 3) квадратты толықтыр. Осы үш әдісті қалай меңгеруге болатындығын білу үшін мына әрекеттерді орындаңыз.

Қадамдар

3-тен 1-әдіс: Теңдеулерді факторларға талдау

Барлық бірдей мүшелерді қосып, оларды теңдеудің бір жағына жылжытыңыз. Факторлық талдаудағы алғашқы қадам - оның барлық шарттарын жағымды етіп жағына қою. Терминдерді біріктіру үшін барлық терминдерді, кез-келген құрамды мүшелерді және тұрақтыларды қосыңыз немесе алып тастаңыз (терминдер бүтін сандар), оларды бір жағына айналдырып, екінші жағында ештеңе қалдырмаңыз. Содан кейін теңдік белгісінің екінші жағына «0» жазуға болады. Мұны қалай жасау керек:
Өрнекті факторға қарай талдаңыз. Өрнекті көбейту үшін (3) және тұрақты (-4) факторларын қамтитын терминнің факторларын қолдану керек, оларды көбейту керек, содан кейін оны орта мүшеге қосу керек (-11). . Мұны қалай жасау керек:
- Мүмкін болатын бір ғана фактор жиынтығы болғандықтан, және оны жақшаға келесі түрде қайта жазуға болады:.
- Келесіде, көбейту кезінде -11х болатын комбинацияны табу үшін 4-тің коэффициенттерін біріктіру үшін төмендетуді қолданыңыз. Сіз 4 және 1 немесе 2 және 2-ні қолдана аласыз, өйткені олардың екеуінің де өнімі 4-ке тең, тек фактор теріс болуы керек екенін ұмытпаңыз, өйткені біздің термин -4.
- Тест әдісімен біз факторлардың жиынтығын тексереміз. Көбейтуді жүзеге асырған кезде аламыз. Шарттарды қосыңыз және біз мақсат етіп отырған дәл орта мерзімді білдіреді. Сонымен, біз тек квадраттық функцияны көбейттік.
- Осы тесттің мысалы ретінде қате (дұрыс емес) комбинациясын қарастырайық: =. Осы шарттарды біріктіре отырып, біз аламыз. -2 мен 2-дің -4-ке тең болатындығы рас болғанымен, олардың арасындағы термин дұрыс емес, өйткені бізге ол керек емес, қажет.
Жақшаның ішіндегі әрбір өрнек нөлге тең болсын жеке теңдеулер ретінде. Осы жерден жалпы теңдеуді нөлге тең ететін екі мәнді табыңыз. 0 Енді теңдеуді көбейткен соң, өрнекті нөлдік жақшаға алу керек. Неліктен? Нөлдік өнім үшін бізде фактордың нөлге тең болуы керек «қағидасы, заңы немесе қасиеті» бар. Сондықтан жақша ішіндегі кем дегенде бір мән нөлге тең болуы керек; яғни (3x + 1) немесе (x - 4) нөлге тең болуы керек. Сондықтан бізде де бар.
Осы «нөлдік» теңдеулердің әрқайсысын өз бетінше шешіңіз. Квадрат теңдеудің екі шешімі бар. Айнымалыны бөліп, оның екі шешімін соңғы нәтиже ретінде жазып, x айнымалысы үшін мүмкін болатын әрбір шешімді табыңыз. Мұнда:
- 3x + 1 = 0 шешіңіз
  - Екі жағын алып тастаңыз: 3x = -1 .....
  - Екі жақты бөлу: 3x / 3 = -1/3 .....
  - Құлату: x = -1/3 .....
- X - 4 = 0 шешіңіз
  - Екі жағын алып тастаңыз: x = 4 .....
- Өзіңіздің мүмкін шешімдеріңізді жазыңыз: x = (-1/3, 4) ....., яғни x = -1/3 немесе x = 4 екеуі де дұрыс.
X = -1/3 дюймді тексеріңіз (3x + 1) (x - 4) = 0:

Өрнектің орнына бізде бар (3 + 1)( – 4) ?=? 0..... Ыдырау: (-1 + 1) (- 4 1/3)? =? 0 ..... Көбейтуді орындаймыз, (0) аламыз (- 4 1/3) = 0 ..... 0 = 0 ..... Дұрыс, x = -1/3 - шешім теңдеу.
X = 4 дюймін тексеріңіз (3x + 1) (x - 4) = 0:

Өрнектің орнына бізде бар (3 + 1)( – 4) ?=? 0 ..... Ыдыраймыз, аламыз: (13) (4 - 4)? =? 0 ..... Көбейтуді орындаңыз: (13) (0) = 0 ..... 0 = 0 ..... Дұрыс, x = 4 - теңдеудің шешімі.
- Сонымен, осы екі ықтимал шешімнің әрқайсысы жеке-жеке «сыналды» және олардың екеуі де мәселені шешетіні және екі бөлек шынайы шешім екендігі расталуы мүмкін.
жарнама

3-тен 2-әдіс: Квадрат формуланы қолданыңыз

Барлық бірдей мүшелерді қосып, оларды теңдеудің бір жағына жылжытыңыз. Термин оң таңбаны қамтуы үшін барлық шарттарды тең белгінің бір жағына жылжытады. Терминдерді кему ретімен қайта жазыңыз, яғни термин бірінші, содан кейін тұрақты, соңында келеді. Мұнда:
- 4х - 5х - 13 = х -5
- 4х - х - 5х - 13 +5 = 0
- 3х - 5х - 8 = 0
Квадрат формулаңызды жазыңыз. Бұл:
Квадрат теңдеудегі a, b және c мәндерін анықта. Шығу а х коэффициенті, б - х пен коэффициенті c тұрақты болып табылады. 3x -5x - 8 = 0 теңдеуімен, a = 3, b = -5 және c = -8. Қағазға жазып қойыңызшы.
A, b және c мәндерін теңдеуге қосыңыз. Енді сіз жоғарыдағы үш айнымалының мәндерін біліп, оларды келесі теңдеуге келтіре аласыз:
- {-b +/- √ (b - 4ac)} / 2
- {-(-5) +/-√ ((-5) - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3)
Есептеулерді орындаңыз. Сандарды ауыстырғаннан кейін, оң немесе теріс белгілерді азайту үшін қалған есептеуді орындаңыз, қалған мүшелерді көбейтіңіз немесе квадраттаңыз. Мұнда:
- {-(-5) +/-√ ((-5) - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
Квадрат түбірді жиыру. Егер радикалды белгі астында мінсіз квадрат болса, онда сіз бүтін сан аласыз. Егер бұл керемет квадрат болмаса, оны қарапайым радикалды түріне келтіріңіз. Егер бұл теріс болса, және бұл теріс болуы керек екеніне сенімдісіз, шешім өте күрделі болады. Бұл мысалда √ (121) = 11. Біз мынаны жаза алдық: x = (5 +/- 11) / 6.
Оң және теріс шешімдерді шешіңіз. Егер сіз квадрат түбірді алып тастаған болсаңыз, сіз x-нің оң және теріс шешімдерін тапқанға дейін жүре аласыз. Енді сізде (5 +/- 11) / 6 болса, сіз екі нұсқа жаза аласыз:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
Оң және теріс шешімдерін табыңыз. Біз тек есептеуді жасауымыз керек:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
Құлату. Жауаптарыңызды қысқарту үшін нумераторды да, үлгіні де ең үлкен ортақ бөлгішке бөлуіңіз керек. Бірінші бөлшектің бөлгішін және бөлгішін 2-ге, ал азайтқышы мен екінші бөлшегінің бөлгішін 6-ға бөлгенде, сіз х-ті таптыңыз.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
жарнама

3-тің 3 әдісі: Квадратты аяқтаңыз

Барлық шарттарды теңдеудің бір жағына жылжытыңыз. Оған көз жеткізіңіз а немесе x оң белгісі бар. Мұнда:
- 2х - 9 = 12х =
- 2х - 12х - 9 = 0
  - Бұл теңдеуде а тең 2, б -12 және -ге тең c -9-ға тең.
Жылжытылды в немесе екінші жағына тұрақты. Тұрақтылар - бұл айнымалысы жоқ сандық терминдер. Оны теңдеудің оң жағына қарай жүргізейік:
- 2х - 12х - 9 = 0
- 2х - 12х = 9
Екі жағын да коэффициенттерге бөліңіз а немесе х коэффициенті. Егер х-тің алдында ешқандай мүшесі болмаса, онда оның коэффициенті 1-ге тең болады және сіз бұл қадамды өткізіп жібере аласыз. Біздің жағдайда теңдеудегі барлық терминдерді 2-ге бөлу керек еді, мысалы:
- 2х / 2 - 12х / 2 = 9/2 =
- х - 6х = 9/2
Бөлісу б екіге бөліп, төртбұрыштап, нәтижені екі жаққа қосыңыз. Бұл мысалда, б тең -6. Біз келесі әрекеттерді орындаймыз:
- -6/2 = -3 =
- (-3) = 9 =
- x - 6x + 9 = 9/2 + 9
Екі жағын құлату. Сол жағын көбейткішке қарай талдаңыз, бізде (x-3) (x-3), немесе (x-3) бар. 9/2 + 9 немесе 9/2 + 18/2 алу үшін оң жағын қосып, 2/27 санын алыңыз.
Екі жақтың да квадрат түбірін табыңыз. (Х-3) квадрат түбірі (х-3) болады. 27/2 квадрат түбірін ± √ (27/2) түрінде көрсетуге болады. Сонымен, x - 3 = ± √ (27/2).
Радикалды белгіні жиып, х-ны табыңыз. ± √ (27/2) азайту үшін 27, 2 шегінде квадрат немесе оның коэффициентін табамыз. 9 квадраты 27-ге тең, себебі 9х3 = 27. 9-ны радикалды белгіден алып тастау үшін оны шығарып, радикалды белгіден басқа оның квадрат түбірін 3 деп жазамыз. Нуматордағы қалған 3 факторды шығару мүмкін емес, сондықтан ол радикалды белгінің астында қалады. Сонымен бірге, біз фракция үлгісінде де 2 қалдырамыз. Әрі қарай, теңдеудің сол жағындағы 3 тұрақтысын оңға қарай жылжытып, екі шешімді жазыңыз:
- x = 3 + (-6) / 2
- x = 3 - (√6) / 2)
жарнама

Кеңес

Көріп отырғанымыздай, радикалды белгі толығымен жойылмайды. Демек, нумератордағы терминдер кумулятивті бола алмайды (өйткені олар бір қасиеттің терминдері емес). Сондықтан плюс-минус бөлудің мәні жоқ. Оның орнына біз барлық жалпы факторларды бөле аламыз, бірақ ЖАЙ тұрақты болған кезде ЖӘНЕ Кез-келген радикалдың коэффициенттерінде де осы фактор бар.
Егер радикалды белгі керемет квадрат болмаса, соңғы бірнеше қадам басқаша жасалуы мүмкін. Сияқты:
Егер «b» жұп сан болса, формула келесідей болады: {- (b / 2) +/- √ (b / 2) -ac} / a.