Мазмұны

• Қадамдар
• Кеңес

Егер сіз математик болсаңыз немесе график программист болсаңыз, сізге берілген екі вектордың арасындағы бұрышты табуыңыз керек шығар. Бұл мақалада wikiHow сізге мұны қалай жасау керектігін көрсетеді.

Қадамдар

2-ден 1-бөлім: Екі вектор арасындағы бұрышты табыңыз

1. 

   Векторлық анықтама. Сізде бар екі вектор туралы барлық ақпаратты жазыңыз. Сізде олардың өлшемдік координаттарының көрсетілген параметрлері ғана бар делік (компоненттер деп те аталады). Егер сіз вектордың ұзындығын (шамасын) білсеңіз, төмендегі қадамдардың кейбірін өткізіп жібере аласыз.
   • Мысалы: Екі өлшемді вектор = (2,2) және екі өлшемді вектор = (0,3). Оларды = 2 түрінде де жазуға боладымен + 2j және = 0мен + 3j = 3j.
   • Осы мақаладағы мысалда екі өлшемді векторлар қолданылғанымен, кез-келген өлшемді векторларға келесі нұсқаулар қолданылуы мүмкін.

2. 

   
   
   Косинус формуласын жазыңыз. Екі вектордың арасындағы θ бұрышын табу үшін сол бұрыштың косинусын табудың формуласынан бастаймыз. Сіз мына формула туралы біле аласыз немесе оны келесідей етіп жаза аласыз:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| «вектордың ұзындығы» дегенді білдіреді.
   • • бұл екі вектордың скаляр көбейтіндісі - бұл төменде түсіндіріледі.

3. 

   
   
   Әр вектордың ұзындығын есептеңіз. Тік бұрышты үшбұрыш вектордың х, у компоненттерінен және вектордың өзінен тұрады деп елестетіп көріңіз. Вектор үшбұрыштың гипотенузасын құрайды, сондықтан оның ұзындығын табу үшін Пифагор теоремасын қолданамыз. Шындығында, бұл формула кез-келген мөлшердегі векторға оңай кеңейтілуі мүмкін.
   • || u || = u₁ + u₂. Егер векторда екіден көп элемент болса, + u қосу керек₃ + u₄ +...
   • Демек, екі өлшемді вектор үшін, || u || = √ (u₁ + u₂).
   • Бұл мысалда |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Екі вектордың скаляр көбейтіндісін есептеңіз. Мүмкін сіз векторлық көбейту әдісін білдіңіз, оны белгілі скаляр бұл. Скаляр өнімді олардың құрамына қатысты есептеу үшін ингредиенттерді әр бағытта бірге көбейтіңіз, содан кейін барлық нәтижені қосыңыз.
   • Графикалық бағдарламаны әрі қарай оқудан бұрын кеңестерден қараңыз.
   • Математикадан • = u₁v₁ + u₂v₂, мұндағы, u = (u₁, сіз₂). Егер векторда екіден көп элемент болса, жай ғана + u қосыңыз₃v₃ + u₄v₄...
   • Бұл мысалда • = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Бұл вектор мен вектордың скаляр көбейтіндісі.

5. 

   Нәтижелерді формулаға салыңыз. Cosθ = (•) / (|||| || ||) екенін ұмытпаңыз. Енді біз скаляр көбейтіндіні де, әр вектордың ұзындығын да білеміз. Бұрыштың косинусын есептеу үшін оларды формулаға енгізіңіз.
   • Біздің мысалда cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = -2 / 2.

6. 

   Оның косинусына негізделген бұрышты табыңыз. Аркоса немесе cos функциясын белгілі cos мәнінен θ табу үшін калькуляторда қолдануға болады. Кейбір нәтижелер бойынша сіз бірлік шеңберіне негізделген бұрышты таба аласыз.
   • Мысалда cosθ = √2 / 2. Бұрышты табу үшін калькуляторыңызға «arccos (√2 ​​/ 2)» енгізіңіз. Немесе cos circle = √2 / 2. позициясында бірлік шеңберден θ бұрышын табуға болады θ = /₄ немесе 45º.
   • Барлығын біріктіретін соңғы формула: бұрыш θ = арккозин ((•) / (|||| || ||))
   жарнама

2-ден 2-бөлім: Бұрыш формуласын анықтау

1. 

   Формуланың мақсатын түсіну. Бұл формула қолданыстағы ережелерден алынған емес. Оның орнына ол скаляр көбейтіндінің анықтамасы және екі вектор арасындағы бұрыш ретінде қалыптасады. Солай бола тұрса да, бұл ерікті шешім емес еді. Негізгі геометрияға оралсақ, бұл формуланың интуитивті және пайдалы анықтамаларды не үшін беретінін түсінуге болады.
   • Төмендегі мысалдарда екі өлшемді векторлар қолданылады, өйткені оларды түсіну оңай және қарапайым. Үш өлшемді немесе одан да көп векторлар ұқсас жалпы формулалармен анықталған қасиеттерге ие.

2. 

   Cosine теоремасына шолу жасаңыз. Қарапайым үшбұрышты қарастырайық angle бұрышы а және b қабырғалары арасында, с қарама-қарсы жағы. Косин теоремасы с = a + b -2ab деп айтадыcos(θ). Бұл нәтиже қарапайым геометриядан алынады.

3. 

   Үшбұрыш құра отырып, екі векторды қосыңыз. Қағазға, векторларға және векторларға екі өлшемді вектор жұбын салыңыз, олардың арасындағы θ бұрышы. Үшбұрыш құру үшін осы екеуінің арасына үшінші векторды салыңыз. Басқаша айтқанда, векторын + = болатындай етіп салыңыз. Вектор = -.

4. 

   Осы үшбұрыш үшін Косинус теоремасын жазыңыз. Біздің «векторлық үшбұрыштың» бүйірлік ұзындығын Косин теоремасына ауыстырыңыз:
   • || (a - b) || = || a || + || b || - 2 || a || || b ||cos(θ)

5. 

   Скалярлық өніммен қайта жазыңыз. Есіңізде болсын, скалярлық өнім - бұл бір вектордың екіншісіндегі бейнесі. Өзімен бірге вектордың скаляр көбейтіндісі ешқандай проекцияны қажет етпейді, өйткені мұнда бағытта ешқандай айырмашылық жоқ. Бұл дегеніміз • = || a ||. Осының көмегімен біз теңдеуді қайта жазамыз:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b ||cos(θ)

6. 

   Сол формуланы сәтті қайта жазыңыз. Формуланың сол жағын кеңейтіңіз, содан кейін бұрыштарды табуға арналған формуланы алу үшін жеңілдетіңіз.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b ||cos(θ)
   • - • - • = -2 || a || || b ||cos(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b ||cos(θ)
   • • = || a || || b ||cos(θ)
   жарнама

Кеңес

• Мәндерді өзгерту және есепті тез шешу үшін мына формуланы кез-келген екі өлшемді векторлар жұбы үшін қолданыңыз: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√ (u₁ • сіз₂) • √ (т.)₁ • v₂)).
• Егер сіз компьютерлік графиканың бағдарламалық жасақтамасымен жұмыс істейтін болсаңыз, онда сіз векторлардың өлшемі туралы ойланбай, олардың ұзындығына алаңдауыңыз мүмкін. Теңдеуді қысқарту және бағдарламаңызды жылдамдату үшін келесі әрекеттерді қолданыңыз:
  • Әр векторды олар 1-ге тең болатындай етіп қалыпқа келтіріңіз. Ол үшін вектордың әрбір компонентін оның ұзындығына бөліңіз.
  • Бастапқы вектордың орнына скалярдың нормаланған көбейтіндісін алыңыз.
  • Ұзындығы 1 болғандықтан, ұзындық элементтерін теңдеуден шығаруға болады. Соңында, алынған бұрыштық теңдеу arccos (•) болады.
• Косинус формуласына сүйене отырып, бұрыштың сүйір немесе доғал екенін тез анықтай аламыз. Cosθ = (•) / (|||| ||||) арқылы бастаңыз:
  • Теңдеудің сол және оң жақтарында бірдей таңба болуы керек (оң немесе теріс).
  • Ұзындық әрқашан оң болғандықтан, cosθ скаляр көбейтіндісімен бірдей белгіге ие болуы керек.
  • Демек, көбейтінді оң болса, cosθ да оң болады. Біз circle <π / 2 немесе 90º болатын бірлік шеңбердің бірінші ширегінде тұрмыз. Табылатын бұрыш - бұл өткір бұрыш.
  • Егер скаляр көбейтінді теріс болса, cosθ теріс болады. Біз бірлік шеңбердің екінші ширегінде, π / 2 <θ ≤ π немесе 90º <θ ≤ 180º. Бұл түрме бұрышы.