Мазмұны

• Басу үшін
• 2-ден 1-әдіс: жай көбейткіштермен тамыр тарту
• 2-ден 2-әдіс: Калькуляторсыз квадрат түбірлерді табу
• Ұзақ бөлінуімен
• Процедураны түсініп алыңыз
• Кеңестер
• Ескертулер

Калькуляторлар пайда болғанға дейін студенттер де, профессорлар да төртбұрышты түбірлерді қалам мен қағазбен есептеуі керек болатын. Кейде қиын жұмыспен күресу үшін әр түрлі әдістер жасалды, олардың кейбіреулері болжалды баға береді, ал басқалары нақты мәнді есептейді. Бірнеше қарапайым қадамдар арқылы санның квадрат түбірін қалай табуға болатындығы туралы оқыңыз.

Басу үшін

2-ден 1-әдіс: жай көбейткіштермен тамыр тарту

1. Өз нөміріңізді қуат факторларына бөліңіз. Бұл әдіс санның квадрат түбірін табу үшін санның факторларын қолданады (санға байланысты ол нақты жауап немесе бағалау болуы мүмкін). The факторлар берілген санның - бұл белгілі бір санды құру үшін көбейтілетін кез келген сандар тізбегі. Мысалы, 8-дің коэффициенттері 2 мен 4-ке тең деп айтуға болады, өйткені 2 × 4 = 8. Керемет квадраттар, керісінше, басқа сандардың көбейтіндісі болатын бүтін сандар. Мысалы, 25, 36 және 49 кемел квадраттар, өйткені олар сәйкесінше 5, 6 және 7-ге тең.Екінші қуат факторлары, сіз түсінгендей, бұл да тамаша квадраттар болатын факторлар. Жай көбейткіштерді пайдаланып квадрат түбір табу үшін алдымен санды оның екінші дәрежелік факторларына бөлуге тырысыңыз.
   • Келесі мысалды алайық. Біз 400-дің квадрат түбірін табамыз. Бастапқыда біз санды қуат факторларына бөлеміз. 400 100-ге еселік болғандықтан, оның 25-ке - біртұтас квадратқа біркелкі бөлінетінін білеміз. Жылдам жаттау 400/25 = 16.16-да керемет квадрат болатынын айтады. Демек, 400-дің текше факторлары 25 және 16 өйткені 25 × 16 = 400.
   • Біз мұны былай жазамыз: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2. Екінші қуат факторларының квадрат түбірлерін алыңыз. Квадрат түбірлердің көбейтінді ережесінде кез келген берілген сан үшін айтылады а және б, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Осы қасиеттің арқасында біз енді квадраттардың квадрат түбірлерін алып, жауабын алу үшін оларды көбейте аламыз.
   • Біздің мысалда біз 25 және 16 сандарының түбірлерін аламыз, төменде қараңыз:
     • Sqrt (25 × 16)
     • Sqrt (25) × Sqrt (16)
     • 5 × 4 = 20
3. Егер сіздің нөміріңізді мүлтіксіз есептеу мүмкін болмаса, оны жеңілдетіңіз. Шындығында, сіз квадрат түбірлерді анықтағыңыз келетін сандар 400 сияқты жақсы квадраттармен дөңгелектелген сандар болмайды. Бұл жағдайда жауап ретінде бүтін санды алу мүмкін болмауы мүмкін. Керісінше, сіз таба алатын барлық қуат факторларын пайдаланып, оның жауабын кішірек, қолдануға ыңғайлы квадрат түбір ретінде анықтай аласыз. Сіз мұны қуат факторларының және басқа факторлардың жиынтығына дейін азайтып, содан кейін оны жеңілдету арқылы жасайсыз.
   • Біз мысал ретінде 147 квадрат түбірін аламыз. 147 екі тамаша квадраттардың көбейтіндісі емес, сондықтан біз бүтін санның мәнін ала алмаймыз. Бірақ бұл тамаша квадраттың және басқа санның - 49 және 3-тің туындысы. Біз бұл ақпаратты өз жауабымызды қарапайым сөздермен жазу үшін қолдана аламыз:
     • Sqrt (147)
     • = Sqrt (49 × 3)
     • = Sqrt (49) × Sqrt (3)
     • = 7 × Sqrt (3)
4. Қажет болса, жеңілдетіңіз. Квадрат түбірді қарапайым сөздермен қолдана отырып, қалған квадрат түбірлерді бағалау және оларды көбейту арқылы жауаптың шамамен бағасын алу өте оңай. Өз болжауыңызды жақсартудың бір әдісі - квадрат түбіріңіздегі санның екі жағында да керемет квадраттарды табу. Сіздің квадрат түбірдегі санның ондық мәні осы екі санның арасында болатынын білесіз, сондықтан сіздің болжамыңыз осы сандар арасында да болуы керек.
   • Біздің мысалға оралайық. 2 = 4 және 1 = 1 болғандықтан, біз Sqrt (3) 1 мен 2 аралығында екенін білеміз - 1-ге қарағанда 2-ге жақын болуы мүмкін. Біздің ойымызша, 1,7. 7 × 1,7 = 11,9. Егер біз мұны калькулятор арқылы тексеретін болсақ, онда біз жауапқа өте жақын екенімізді көреміз: 12,13.
     • Бұл үлкен сандар үшін де жұмыс істейді. Мысалы, sqrt (35) шамамен 5-тен 6-ға дейін (6-ға жақын болуы мүмкін). 5 = 25 және 6 = 36.35 25 пен 36 аралығында, сондықтан квадрат түбір 5 пен 6 аралығында болады. 35-тен 36-дан сәл төмен болғандықтан, оның квадрат түбірі деп нық сеніммен айта аламыз жай 6-дан кем. Калькулятор көмегімен тексеру шамамен 5,92 жауап береді - біздікі дұрыс болды.
5. Сонымен қатар, бірінші қадам ретінде сіз санды жеңілдете аласыз ең кіші ортақ еселік. Қуат факторларын іздеудің қажеті жоқ, егер санның жай көбейткіштерін оңай табуға болады (факторлар бір уақытта жай сандар болып табылады). Санды ең кіші ортақ еселіктер түрінде жаз. Содан кейін жай сандардың жұптарын сәйкестендіру үшін факторларыңыздың арасынан іздеңіз. Сәйкес келетін екі жай факторды тапқан кезде оларды квадрат түбірден алып тастаңыз және орнына қойыңыз а квадрат түбір белгісінен тыс осы сандардың.
   • Мысалы, біз осы әдісті пайдаланып 45-тің квадрат түбірін анықтаймыз. Біз 45 = 9 × 5 және 9 = 3 × 3. екенін білеміз, сондықтан квадрат түбірді былай жаза аламыз: Sqrt (3 × 3 × 5). Оңайлатылған квадрат түбір алу үшін 3-ті жойып, квадрат түбірдің сыртына 3 қойыңыз. (3) Sqrt (5). Енді сіз бағалауды оңай жасай аласыз.
   • Соңғы мысал; біз 88-дің квадрат түбірін анықтаймыз:
     • Sqrt (88)
     • = Sqrt (2 × 44)
     • = Sqrt (2 × 4 × 11)
     • = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). Біздің квадрат тамырымызда бірнеше 2 бар. 2 қарапайым болғандықтан, біз жұпты алып тастап, 2-ді түбірдің сыртына орналастыра аламыз.
     • = Біздің қарапайым квадрат түбіріміз (2) Sqrt (2 × 11) немесе (2) Sqrt (2) Sqrt (11). Енді біз Sqrt (2) және Sqrt (11) -ге жақындап, егер қажет болса, шамамен жауап таба аламыз.

2-ден 2-әдіс: Калькуляторсыз квадрат түбірлерді табу

Ұзақ бөлінуімен

1. Өз нөміріңіздің цифрларын жұпқа бөліңіз. Бұл әдіс бөлуге мүмкіндік беретін ұзақ бөлуге ұқсас дәл санның цифрының квадрат түбірі. Маңызды болмаса да, санды өңделетін бөліктерге бөлу шешімді жеңілдетуі мүмкін, әсіресе егер ол ұзақ болса. Алдымен жұмыс аймағын 2 аймаққа бөлетін тік сызықты, содан кейін оң жақтың жоғарғы жағына жақынырақ етіп, оны кіші жоғарғы бөлікке және төменірек үлкен бөлікке бөліңіз. Содан кейін ондық үтірден бастап санды жұп сандарға бөліңіз. Бұл ереже бойынша 79520789182.47897 «7 95 20 78 91 82.47 89 70» болады. Бұл санды жоғарғы сол жаққа жазыңыз.
   • Мысал ретінде 780,14 квадрат түбірін есептейік. Жұмыс кеңістігіңізді жоғарыдағыдай етіп бөліп, жоғарғы сол жақ бұрышқа «7 80, 14» деп жазыңыз. Егер сол жақта екі нөмірдің орнына бір ғана нөмір болса, жарайды. Содан кейін сіз оң жақ аймақтың жоғарғы жағына (780,14 квадрат түбірі) жауапты жазасыз.
2. Ең үлкен бүтін санды табыңыз n оның квадраты сол жақтағы цифрдан немесе саннан кіші немесе оған тең. Осы саннан кіші немесе оған тең болатын ең үлкен квадратты табыңыз, содан кейін осы квадраттың квадрат түбірін табыңыз. Бұл сан n. Мұны жоғарғы оң жақ аймаққа жазыңыз және сол аймақтың төменгі квадрантына n квадратын жазыңыз.
   • Біздің мысалда сол жақтағы цифр - 7 саны. Біз 2 = 4 ≤ 7 3 = 9 екенін білетіндіктен, n = 2 деп айта аламыз, өйткені бұл квадраты 7-ге кем немесе оған тең болатын ең үлкен бүтін сан. Жоғарғы оң жақ квадрантқа 2 деп жазыңыз. Бұл жауаптың бірінші цифры. Төменгі оң жақ квадрантқа 4 (2 квадраты) жазыңыз. Бұл сан келесі қадам үшін маңызды.
3. Сіз есептеген санды алып тастаңыз сол жақтағы цифр немесе сан. Ұзын бөлудегідей, келесі қадам - ​​біз тек есептеу үшін қолданған саннан квадратты алып тастау. Бұл санды сол жақтағы санның астына жазып, оларды алып тастаңыз. Төменде жауап жазыңыз.
   • Біздің мысалда 4-ті 7-ден кіші деп жазып, оны алып тастаймыз. Бұл береді 3 жауапқа.
4. Келесі санды төмен жылжытыңыз. Мұны алдыңғы редакцияда табылған мәннің қасына қойыңыз. Оң жақтағы санды екіге көбейтіп, төменгі оң жаққа жазып алыңыз. Жаңа жазған санның қасында келесі қадамда жасайтын сомаға бос орын қалдырыңыз. Мұнда «_ × _ =» «деп жазыңыз.
   • Біздің мысалда келесі сан - «80». Сол жақ квадранттағы 3-тің жанына «80» деп жазыңыз. Содан кейін оң жақтағы санды 2-ге көбейтіңіз. Бұл сан 2-ге тең, сондықтан 2 × 2 = 4. Оң жақ төменгі жағына «» 4 «» жазыңыз, содан кейін _×_=.
5. Оң жақтағы сандарды енгізіңіз. Қосындының бос орнына (оң жақта) оң жақтағы көбейту қосындысының нәтижесін сол жақтағы ағымдағы саннан кем немесе оған тең ететін ең үлкен бүтін санды енгізіңіз.
   • Біздің мысалда біз 8-ді енгіземіз, ал бұл 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384 құрайды. Бұл 380-ден үлкен. Демек, 8 тым үлкен, бірақ 7-де олай емес. 7-ді толтырып, шеш: 4 (7) × 7 = 329. 7 жақсы, өйткені 329 380-ден аз. Оң жақта 7 деп жаз. Бұл 780.14 квадрат түбіріндегі екінші цифр.
6. Сол жақтағы ағымдағы саннан жаңа есептеген санды алып тастаңыз. Сонымен сіз көбейтудің нәтижесін сол жақтағы ағымдағы жауаптан алып тастайсыз. Жауабыңызды тікелей астына жазыңыз.
   • Біздің мысалда біз 329-ді 380-ден аламыз және бұл береді 51 нәтижесінде.
7. 4-қадамды қайталаңыз. Келесі сандар жұбын 780.14-тен төмен жылжытыңыз. Үтірге келгенде, сол үтірді оң жақтағы жауапқа жазыңыз. Содан кейін оң жақтағы санды 2-ге көбейтіп, жауабын («_ × _») жанына жоғарыдағыдай етіп жазыңыз.
   • Біздің жауабымызда біз үтір жазамыз, өйткені біз мұны 780.14 ж. Келесі жұпты (14) сол жақ квадрантқа қарай жылжытыңыз. 27 x 2 = 54, сондықтан оң жақ төменгі квадрантта «54 _ × _ =» деп жазамыз.
8. 5 және 6 қадамдарды қайталаңыз. Сол жақтағы ағымдағы саннан аз немесе оған тең жауап беретін ең үлкен санды табыңыз. Шешу.
   • Біздің мысалда 549 ​​× 9 = 4941, бұл сол жақтағы саннан кем немесе оған тең (5114). 549 × 10 = 5490, бұл өте жоғары, сондықтан 9 - біздің жауабымыз. Келесі оң жақ жоғарғы сан ретінде 9 деп жазып, сол саннан көбейтудің нәтижесін алып тастаңыз: 5114 -4941 = 173.
9. Нәтижені дәл келтіру үшін, сізге қажет ондық бөлшек (жүздік, мыңдық) санымен жауап тапқанға дейін алдыңғы процедураны қайталаңыз.

Процедураны түсініп алыңыз

1. Квадрат түбірді квадраттың ауданы ретінде есептегіңіз келетін санды қарастырыңыз. Квадраттың ауданы L болатындықтан, мұндағы L - оның бір қабырғасының ұзындығы, сондықтан саныңның квадрат түбірін табу арқылы сол квадраттың қабырғасының L ұзындығын есептеуге тырысасың.
2. Жауабыңыздың әр цифрына хат беріңіз. L айнымалысының бірінші цифры ретінде А айнымалысын енгізіңіз (біз есептеп отырған квадрат түбір). B - екінші цифр, C үшінші және т.с.с.
3. Сіз бастаған санның әр «жұп сандарына» әріп беріңіз. S айнымалысын беріңіз_а S цифрларының бірінші жұбына (бастапқы мән), S_б цифрлардың екінші жұбына және т.б.
4. Бұл әдіс пен ұзақ бөлудің арасындағы байланысты түсініп алыңыз. Квадрат түбірді табудың бұл әдісі мәні бойынша ұзақ бөлу болып табылады, мұнда бастапқы мәнді оның квадрат түбіріне бөліп, жауап ретінде квадрат түбірді «бересің». Бір уақытта тек келесі цифрға қызығушылық танытатын ұзақ бөлудегі сияқты, сізді тек келесі екі цифр бір уақытта қызықтырады (олар квадрат түбірдің келесі цифрына сәйкес келеді).
5. Квадраты S-ден кем немесе оған тең болатын ең үлкен санды табыңыз._а болып табылады. Біздің жауабымыздағы бірінші А саны квадраты S-ден аспайтын ең үлкен бүтін сан болады._а (A² ≤ Sa (A + 1) ² болатындай). Біздің мысалда С._а = 7, және 2² ≤ 7 3², сондықтан A = 2.
   • Егер сіз 88962-ді ұзын бөлуді пайдаланып 7-ге бөлсеңіз, онда бірінші қадам тең болады: сіз алдымен 88962 (8) бірінші санымен жұмыс істейсіз және ең үлкен цифрды 7-ге көбейтіп, 8-ге кем немесе оған теңестіргіңіз келеді. анықтау г. сондықтан 7 × d-8 7 × (d + 1). Бұл жағдайда d 1-ге тең болады.
6. Ауданын тапқыңыз келетін квадратты көз алдыңызға елестетіңіз. Сіздің жауабыңыз, бастапқы мәннің квадрат түбірі L, ауданы S болатын шаршының ұзындығын сипаттайтын (бастапқы мән). A, B және C мәндері L мәніндегі цифрларды білдіреді. Мұны айтудың тағы бір тәсілі: 2 таңбалы жауап үшін 10A + B = L және 3 таңбалы жауап үшін 100A + 10B + C = L және т.б.
   • Біздің мысалда (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Есіңізде болсын, 10A + B жауаптарымыз L-мен бірге бірліктер жағдайында B, ал ондықтар жағдайында A. Мысалы, егер A = 1 және B = 2 болса, онда 10A + B - бұл 12 саны. (10A + B) ² бұл бүкіл алаңның ауданы, ал 100A² - ең үлкен ішкі алаңның ауданы, B² бұл ең кіші квадраттың ауданы және 10A × B - бұл қалған төртбұрыштың әрқайсысының ауданы. Осы ұзақ, күрделі процедура арқылы біз оған кіретін квадраттар мен тіктөртбұрыштардың аудандарын қосу арқылы бүкіл квадраттың ауданын таба аламыз.
7. S-ден A² алып тастаңыз._а. Жұп сандарды әкеліңіз (С._б) S. S санынан төмен_а С._б дегеніміз - сіз тек ең үлкен ішкі квадраттың ауданын алып тастаған квадраттың жалпы ауданы. Қалғаны, мысалы, біз 4-қадамда алған N1 саны (біздің мысалда N1 = 380). N1 2 × 10A × B + B²-ге тең (екі тіктөртбұрыштың ауданы және кіші квадраттың ауданы).
8. N1 = (2 × 10A + B) × B түрінде жазылған N1 = 2 × 10A × B + B²-ге қараңыз. Біздің мысалда сіз N1 (380) және A (2) -ді білесіз, сондықтан енді В табу керек. B, мүмкін, бүтін сан емес, сондықтан керек шын мәнінде (2 × 10A + B) × B ≤ N1 болатындай B ең үлкен бүтін санын табыңыз. Енді сізде: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9. Теңдеуді шешіңіз. Осы теңдеуді шешу үшін А-ны 2-ге көбейтіп, оны онға ауыстырып (10-ға көбейт), В-ны бірліктерге қойып, нәтижені В-ға көбейт. Басқаша айтқанда (2 × 10A + B) × B. 4-қадамда төменгі оң квадрантта «N_ × _ =» (N = 2 × A бар) жазғанда не істейсің, 5-қадамда сызықтың астына сәйкес келетін ең үлкен В санын анықтайсың, сондықтан (2 × 10A) + B) × B ≤ N1.
10. Жалпы алаңнан (2 × 10A + B) × B ауданды алып тастаңыз. Бұл сіз әлі ескермеген S- (10A + B) ² ауданын береді (және келесі сандарды дәл осылай есептеу үшін қолданасыз).
11. Келесі С санын есептеу үшін процедураны қайталаңыз. Келесі жұп сандарын S-ден төмен жылжытыңыз (S_c) N2-ні солға қарай алып, ең үлкен С-ны іздеңіз, енді сізде: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C-N2 (екі таңбалы «AB» санының екі еселенгеніне тең) «_ × _ =» бойынша Енді осы жерге енгізуге болатын ең үлкен санды анықтаңыз, ол сізге N2-ден аз немесе оған тең жауап береді.

Кеңестер

• Үтірді екі орынға жылжыту (100 коэффициент) сәйкес квадрат түбірдегі үтірді бір орынға жылжытады (10 коэффициент).
• Мысалда 1.73 «қалдық» деп санауға болады: 780.14 = 27.9² + 1.73.
• Бұл әдіс тек ондық (ондық) жүйеге емес, кез-келген санау жүйесіне жұмыс істейді.
• Есептеулерді қалаған жеріңізге қоюға қымсынбаңыз. Кейбіреулер оны квадрат түбірін есептегісі келетін саннан жоғары жазады.
• Балама әдіс келесідей: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). Мысалы, 780.14 квадрат түбірін есептеу үшін квадраты 780.14 (28) -ге жақын бүтін санды қабылдаймыз, сондықтан = 780.14, x = 28 және y = -3.86. Толтыру және бағалау бізге x + y / (2x) береді, ал бұл (жеңілдетілген шарттар) 78207/2800 немесе шамамен 27.931 (1); келесі мерзім, 4374188/156607 немесе шамамен 27.930986 (5). Әрбір тоқсан алдыңғысына шамамен 3 ондық бөлшегін қосады.

Ескертулер

• Ондық үтірден бастап санды жұпқа бөлуді ұмытпаңыз. 79520789182.47897-ны «79 52 07 89 18 деп бөлу 2,4 78 97 «қате нәтиже береді.