Мазмұны

• Алдын ала ақпарат
• Қадамдар
• 3 -тің 1 -бөлігі: Негіздер
• 3 бөліктің 2 бөлігі: Лаплас түрлендіруінің қасиеттері
• 3 -тің 3 -ші бөлігі: Лаплас түрленуін сериялық кеңейту арқылы табу

Лаплас түрлендіруі - тұрақты коэффициенттері бар дифференциалдық теңдеулерді шешуге қолданылатын интегралды түрлендіру. Бұл түрлендіру физика мен техникада кеңінен қолданылады.

Сәйкес кестелерді қолдана отырып, қажет болған жағдайда оны өзіңіз жасай алатындай Лаплас түрлендіруді түсіну пайдалы.

Алдын ала ақпарат

• Функция берілген ${ Displaystyle f (t)}$үшін анықталған ${ displaystyle t geq 0.}$ Содан кейін Лаплас түрленуі функция ${ Displaystyle f (t)}$ әрбір мәннің келесі функциясы болып табылады ${ displaystyle s}$, онда интеграл жинақталады:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Лаплас түрлендіруі t-аймағынан (уақыт шкаласы) s-аймағына (түрлендіру аймағы) дейінгі функцияны алады, мұнда ${ Displaystyle F (s)}$ күрделі айнымалының күрделі функциясы болып табылады. Бұл функцияны шешімді оңай табуға болатын аймаққа жылжытуға мүмкіндік береді.
• Әлбетте, Лаплас түрлендіруі - сызықтық оператор, сондықтан егер біз терминдердің қосындысымен айналысатын болсақ, әр интегралды бөлек есептеуге болады.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Есіңізде болсын, Лаплас түрлендіруі интеграл жинақталған жағдайда ғана жұмыс істейді. Егер функция ${ Displaystyle f (t)}$ үзілістер бар, белгісіздікке жол бермеу үшін мұқият болу және интеграция шегін дұрыс белгілеу қажет.

Қадамдар

3 -тің 1 -бөлігі: Негіздер

1. 1 Функцияны Лаплас түрлендіру формуласына ауыстырыңыз. Теориялық тұрғыдан алғанда, функцияның Лаплас түрленуін есептеу өте оңай. Мысал ретінде функцияны қарастырыңыз ${ Displaystyle f (t) = e ^ {at}}$, қайда ${ Displaystyle a}$ көмегімен күрделі тұрақты болып табылады ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Қол жетімді әдістерді қолдана отырып, интегралды бағалаңыз. Біздің мысалда бағалау өте қарапайым және сіз қарапайым есептеулермен қол жеткізе аласыз. Күрделі жағдайларда неғұрлым күрделі әдістер қажет болуы мүмкін, мысалы, бөлшектер бойынша интегралдау немесе интегралдық белгі бойынша дифференциация. Шектеу шарты ${ displaystyle operatorname {Re} (s) operatorname {Re} (a)}$ интеграл жинақталатынын білдіреді, яғни оның мәні 0 -ге тең ${ Displaystyle t to infty.}$
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {тураланған}}}$
   • Назар аударыңыз, бұл Эйлер формуласы бойынша синус пен косинуспен Лаплас түрлендіруінің екі түрін береді ${ displaystyle e ^ {iat}}$... Бұл жағдайда бөлгіште біз аламыз ${ Displaystyle s-ia,}$ және бұл тек нақты және ойдан шығарылған бөліктерді анықтау үшін қалады. Сіз нәтижені тікелей бағалай аласыз, бірақ бұл біраз уақыт алады.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = оператор аты {Re} солға ({ frac {1} {s-ia}} оңға) = { frac {s} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin at } = operatorname {Im} left ({ frac {1} {s-ia}} оң) = { frac {a} {s ^ {2} + a ^ {2}}}}$
3. 3 Қуат функциясының Лаплас түрленуін қарастырайық. Біріншіден, қуат функциясының түрленуін анықтау керек, өйткені сызықтық қасиет түрлендіруді табуға мүмкіндік береді. бәрінен де көпмүшелер. Пішіннің функциясы ${ displaystyle t ^ {n},}$ қайда ${ Displaystyle n}$ - кез келген натурал сан. Рекурсивті ережені анықтау үшін бөліктерге біріктіруге болады.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Бұл нәтиже жасырын түрде көрсетіледі, бірақ егер сіз бірнеше мәнді алмастырсаңыз ${ Displaystyle n,}$ сіз келесі нәтижені алуға мүмкіндік беретін белгілі бір үлгіні орната аласыз (оны өзіңіз жасауға тырысыңыз):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • Сіз гамма функциясын қолдана отырып, бөлшектік қуаттардың Лаплас түрленуін анықтай аласыз. Мысалы, осылайша функцияның түрленуін табуға болады ${ Displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac { Гамма (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Гамма (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac { sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • Бөлшек дәрежесі бар функциялар қысқартылған болуы керек (есіңізде болсын, кез келген күрделі сандар) ${ Displaystyle z}$ және ${ Displaystyle alpha}$ ретінде жазуға болады ${ displaystyle z ^ { alpha}}$, себебі ${ displaystyle e ^ { alpha operatorname {Log} z}}$), оларды әрқашан кесулер сол жақ жазықтықта жататындай етіп анықтауға болады, осылайша аналитикалық мәселелерден аулақ болады.

3 бөліктің 2 бөлігі: Лаплас түрлендіруінің қасиеттері

1. 1 Көбейтілген функцияның Лаплас түрлендіруін табайық дат{ displaystyle e ^ {at}}. Алдыңғы бөлімде алынған нәтижелер Лаплас түрлендіруінің кейбір қызықты қасиеттерін білуге ​​мүмкіндік берді. Косинус, синус және экспоненциалдық функция сияқты Лаплас түрлендіруі қуат функциясының түрленуіне қарағанда қарапайым сияқты. Бойынша көбейту ${ displaystyle e ^ {at}}$ t-аймағында сәйкес келеді ауысу s-аймағында:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • Бұл қасиет бірден функцияның түрленуін табуға мүмкіндік береді ${ Displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$интегралды есептемей:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Көбейтілген функцияның Лаплас түрлендіруін табайық тn{ displaystyle t ^ {n}}. Алдымен көбейтуді қарастырыңыз ${ Displaystyle t}$... Анықтама бойынша, функцияны интегралда ажыратуға болады және таңқаларлық қарапайым нәтиже алуға болады:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { partial} { partial s}} e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {aligned}}}$
   • Бұл әрекетті қайталай отырып, біз соңғы нәтижені аламыз:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac { mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • Интеграция мен дифференциация операторларының қайта реттелуі қосымша ақтауды қажет етсе де, біз оны бұл жерде ұсынбаймыз, тек соңғы нәтиже мағыналы болса, бұл операцияның дұрыс екенін ескереміз. Сіз сондай -ақ айнымалылар фактісін ескере аласыз ${ displaystyle s}$ және ${ Displaystyle t}$ бір -біріне тәуелді емес.
   • Осы ережені қолдана отырып, сияқты функцияның түрленуін табу оңай ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, бөліктер бойынша қайта біріктірусіз:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac { mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Лаплас функциясының түрленуін табыңыз f(ат){ Displaystyle f (at)}. Трансформацияның анықтамасын қолдана отырып, айнымалы мәнді u -ға ауыстыру арқылы оңай жасауға болады:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = at & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F солға ({ frac {s} {a}} оңға) соңына {реттелген}}}$
   • Жоғарыда біз функциялардың Лаплас түрлендіруін таптық ${ displaystyle sin at}$ және ${ Displaystyle cos at}$ тікелей экспоненциалды функциядан. Бұл қасиетті қолдана отырып, сіз нақты және ойдан шығарылған бөліктерді тапсаңыз, дәл осындай нәтижеге қол жеткізе аласыз ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Туынды Лаплас түрлендіруді табыңыз f′(т){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. Алдыңғы мысалдардан айырмашылығы, бұл жағдайда міндетті бөлік бойынша біріктіру:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Үлкен _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {aligned}}}$
   • Екінші туынды көптеген физикалық есептерде кездесетіндіктен, біз оған Лаплас түрлендіруін табамыз:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • Жалпы жағдайда, n -ші ретті туынды Лаплас түрлендіруі келесі түрде анықталады (бұл Лаплас түрлендіруінің көмегімен дифференциалдық теңдеулерді шешуге мүмкіндік береді):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n -1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

3 -тің 3 -ші бөлігі: Лаплас түрленуін сериялық кеңейту арқылы табу

1. 1 Периодты функция үшін Лаплас түрленуін табайық. Периодтық функция шартты қанағаттандырады ${ Displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ қайда ${ Displaystyle T}$ функцияның периоды болып табылады, және ${ Displaystyle n}$ натурал сан. Мерзімді функциялар көптеген қосымшаларда кеңінен қолданылады, оның ішінде сигналды өңдеу мен электротехника. Қарапайым түрлендірулерді қолдана отырып, біз келесі нәтижені аламыз:
   • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { реттелген}}}$
   • Көріп отырғаныңыздай, периодтық функция жағдайында Лаплас түрлендіруін бір периодқа орындау жеткілікті.
2. 2 Натурал логарифм үшін Лаплас түрлендіруді орындаңыз. Бұл жағдайда интегралды элементар функциялар түрінде өрнектеуге болмайды. Гамма функциясын және оның сериялық кеңеюін қолдану натурал логарифм мен оның дәрежелерін бағалауға мүмкіндік береді. Эйлер-Маскерони тұрақтысының болуы ${ Displaystyle gamma}$ көрсетеді, бұл интегралды бағалау үшін сериялық кеңейтуді қолдану қажет.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac { gamma + ln s} {s}}}$
3. 3 Нормаланбаған sinc функциясының Лаплас түрленуін қарастырайық. Функция ${ displaystyle operatorname {sinc} (t) = { frac { sin t} {t}}}$ сигналды өңдеу үшін кеңінен қолданылады, дифференциалдық теңдеулерде ол бірінші түрдегі сфералық Бессель функциясына тең және нөлдік ретті ${ displaystyle j_ {0} (x).}$ Бұл функцияның Лаплас түрленуін стандартты әдістермен есептеу мүмкін емес. Бұл жағдайда күш функциялары болып табылатын қатардың жеке мүшелерінің түрленуі жүзеге асады, сондықтан олардың түрленуі міндетті түрде берілген аралықта жинақталады.
   • Алдымен біз функцияның кеңеюін Тейлор сериясында жазамыз:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • Енді біз қуат функциясының бұрыннан белгілі Лаплас түрлендіруін қолданамыз. Факторийлер жойылады, нәтижесінде біз арктенгент үшін Тейлор кеңеюін аламыз, яғни синус үшін Тейлор сериясына ұқсайтын ауыспалы қатарды аламыз, бірақ факториалсыз:
     • ${ displaystyle { begin {aligned} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = tan ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {aligned}}}$