Мазмұны

• Қадамдар
• 3 -ші әдіс 1: Тұрақты мүшесі жоқ кубтық теңдеуді қалай шешуге болады
• 3 -ші әдіс 2: мультипликаторлардың көмегімен түбірлерді қалай табуға болады
• 3 -ші әдіс 3: Дискриминант көмегімен теңдеуді қалай шешуге болады

Кубтық теңдеуде ең жоғары көрсеткіш 3 -ке тең, мұндай теңдеудің 3 түбірі (шешімі) бар және оның формасы бар ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Кейбір текше теңдеулерді шешу оңай емес, бірақ егер сіз дұрыс әдісті қолдансаңыз (теориялық негізі жақсы болса), сіз ең күрделі текше теңдеуінің түбірін таба аласыз - бұл үшін квадрат теңдеуді шешу формуласын қолданыңыз. тұтас түбірлер немесе дискриминантты есептеңіз.

Қадамдар

3 -ші әдіс 1: Тұрақты мүшесі жоқ кубтық теңдеуді қалай шешуге болады

1. 1 Кубтық теңдеуде бос мүше бар -жоғын біліңіз d{ Displaystyle d}. Кубтық теңдеудің формасы бар ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Теңдеуді текше деп санау үшін тек мүше ғана жеткілікті ${ Displaystyle x ^ {3}}$ (яғни басқа мүшелер мүлдем болмауы мүмкін).
   • Егер теңдеуде бос мүше болса ${ Displaystyle d}$, басқа әдісті қолданыңыз.
   • Егер теңдеуде болса ${ displaystyle a = 0}$, бұл текше емес.
2. 2 Жақшадан алыңыз x{ Displaystyle x}. Теңдеуде бос мүше болмағандықтан, теңдеудегі әр мүшеге айнымалы кіреді ${ Displaystyle x}$... Бұл дегеніміз бір ${ Displaystyle x}$ теңдеуді жеңілдету үшін жақшадан алып тастауға болады. Осылайша, теңдеу келесі түрде жазылады: ${ Displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c)}$.
   • Мысалы, текше теңдеуі берілген ${ Displaystyle 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • Шығарып алу ${ Displaystyle x}$ жақшалар мен алыңыз ${ Displaystyle x (3x ^ {2} -2x + 14) = 0}$
3. 3 Фактор (екі биномның көбейтіндісі) квадрат теңдеу (мүмкін болса). Форманың көптеген квадрат теңдеулері ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ факторизациялауға болады. Егер біз шығарсақ, мұндай теңдеу шығады ${ Displaystyle x}$ жақшалардың сыртында. Біздің мысалда:
   • Жақшадан алыңыз ${ Displaystyle x}$: ${ Displaystyle x (x ^ {2} + 5x-14) = 0}$
   • Квадрат теңдеудің факторы: ${ Displaystyle x (x + 7) (x-2) = 0}$
   • Әр қалтаны теңестіріңіз ${ displaystyle 0}$... Бұл теңдеудің түбірлері ${ Displaystyle x = 0, x = -7, x = 2}$.
4. 4 Арнайы формуланы қолданып квадрат теңдеуді шешіңіз. Егер квадрат теңдеуді көбейтуге болмайтын болса, осылай жасаңыз. Теңдеудің екі түбірін, коэффициенттерінің мәндерін табу үшін ${ Displaystyle a}$, ${ Displaystyle b}$, ${ Displaystyle c}$ формулада алмастырады ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$.
   • Біздің мысалда коэффициенттердің мәндерін ауыстырыңыз ${ Displaystyle a}$, ${ Displaystyle b}$, ${ Displaystyle c}$ (${ Displaystyle 3}$, ${ Displaystyle -2}$, ${ Displaystyle 14}$) формула бойынша:

     ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

     ${ displaystyle { frac {- (- 2) pm { sqrt {((-2) ^ {2} -4 (3) (14)}}} {2 (3)}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4- (12) (14)}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {(4-168}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • Бірінші түбір:

     ${ displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • Екінші түбір:

     ${ displaystyle { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 Кубтық теңдеудің шешімі ретінде нөлдік және квадраттық түбірлерді қолданыңыз. Квадрат теңдеулердің екі түбірі бар, текшелердің үш түбірі бар. Сіз екі шешімді таптыңыз - бұл квадрат теңдеудің түбірлері. Егер жақша сыртына «x» қойсаңыз, үшінші шешім болады ${ displaystyle 0}$.
   • Егер жақшадан «x» алсаңыз, сіз аласыз ${ Displaystyle x (ax ^ {2} + bx + c) = 0}$, яғни екі фактор: ${ Displaystyle x}$ және жақшалардағы квадрат теңдеу. Егер осы факторлардың кез келгені болса ${ displaystyle 0}$, бүкіл теңдеу де -ге тең ${ displaystyle 0}$.
   • Осылайша, квадрат теңдеудің екі түбірі текше теңдеуінің шешімдері болып табылады. Үшінші шешім - бұл ${ Displaystyle x = 0}$.

3 -ші әдіс 2: мультипликаторлардың көмегімен түбірлерді қалай табуға болады

1. 1 Кубтық теңдеуде бос мүше бар екеніне көз жеткізіңіз d{ Displaystyle d}. Егер формадағы теңдеуде ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ бос мүшесі бар ${ Displaystyle d}$ (бұл нөлге тең емес), жақша сыртына «x» қою жұмыс істемейді. Бұл жағдайда осы бөлімде көрсетілген әдісті қолданыңыз.
   • Мысалы, текше теңдеуі берілген ${ Displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$... Теңдеудің оң жағында нөлді алу үшін қосыңыз ${ Displaystyle 6}$ теңдеудің екі жағына.
   • Теңдеу шығады ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$... Сияқты ${ Displaystyle d = 6}$, бірінші бөлімде сипатталған әдісті қолдануға болмайды.
2. 2 Коэффициент факторларын жазыңыз а{ Displaystyle a} және бос мүше d{ Displaystyle d}. Яғни, санының факторларын табыңыз ${ Displaystyle x ^ {3}}$ және теңдік белгісінің алдындағы сандар. Еске салайық, санның факторлары көбейту кезінде сол санды шығаратын сандар.
   • Мысалы, нөмірді алу үшін 6, көбейту керек ${ Displaystyle 6 times 1}$ және ${ displaystyle 2 times 3}$... Сонымен сандар 1, 2, 3, 6 сан факторлары болып табылады 6.
   • Біздің теңдеуде ${ Displaystyle a = 2}$ және ${ Displaystyle d = 6}$... Көбейткіштер 2 бар 1 және 2... Көбейткіштер 6 сандар болып табылады 1, 2, 3 және 6.
3. 3 Әр факторды бөліңіз а{ Displaystyle a} әр фактор үшін d{ Displaystyle d}. Нәтижесінде сіз көптеген бөлшектер мен бірнеше бүтін сандарды аласыз; кубтық теңдеудің түбірлері бүтін сандардың бірі немесе бүтін сандардың біреуінің теріс мәні болады.
   • Біздің мысалда факторларды бөліңіз ${ Displaystyle a}$ (1 және 2) факторлар бойынша ${ Displaystyle d}$ (1, 2, 3 және 6). Сіз аласыз: ${ Displaystyle 1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ Displaystyle 2}$ және ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$... Алынған бөлшектер мен сандардың теріс мәндерін мына тізімге қосыңыз: ${ Displaystyle 1}$, ${ Displaystyle -1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {6}}}$, ${ Displaystyle 2}$, ${ Displaystyle -2}$, ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$ және ${ displaystyle - { frac {2} {3}}}$... Кубтық теңдеудің түбірлері осы тізімдегі кейбір сандар.
4. 4 Бүтін сандарды текше теңдеуіне қосыңыз. Егер теңдік шын болса, онда ауыстырылған сан теңдеудің түбірі болып табылады. Мысалы, теңдеудегі алмастыру ${ Displaystyle 1}$:
   • ${ displaystyle 2 (1) ^ {3} +9 (1) ^ {2} +13 (1) +6}$ = ${ Displaystyle 2 + 9 + 13 + 6}$ ≠ 0, яғни теңдік сақталмайды. Бұл жағдайда келесі нөмірді қосыңыз.
   • Ауыстыру ${ Displaystyle -1}$: ${ Displaystyle (-2) +9 +(- 13) +6}$ = 0. Осылайша ${ Displaystyle -1}$ теңдеудің түбірі болып табылады.
5. 5 Көпмүшелерді бөлу әдісін қолданыңыз Хорнер схемасытеңдеудің түбірін тезірек табу үшін. Егер сандарды қолмен теңдеуге қойғыңыз келмесе, мұны жасаңыз. Хорнер схемасында бүтін сандар теңдеу коэффициенттерінің мәндеріне бөлінеді ${ Displaystyle a}$, ${ Displaystyle b}$, ${ Displaystyle c}$ және ${ Displaystyle d}$... Егер сандар біркелкі бөлінетін болса (яғни қалғаны ${ displaystyle 0}$), бүтін сан - теңдеудің түбірі.
   • Хорнер схемасы бөлек мақалаға лайық, бірақ төменде осы схеманы қолданып кубтық теңдеудің түбірлерінің бірін есептеуге мысал келтірілген:

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • Қалғаны солай ${ displaystyle 0}$, бірақ ${ Displaystyle -1}$ теңдеудің түбірлерінің бірі болып табылады.

3 -ші әдіс 3: Дискриминант көмегімен теңдеуді қалай шешуге болады

1. 1 Теңдеу коэффициенттерінің мәндерін жазыңыз а{ Displaystyle a}, б{ Displaystyle b}, c){ Displaystyle c} және d{ Displaystyle d}. Болашақта шатаспау үшін көрсетілген коэффициенттердің мәндерін алдын ала жазып алуды ұсынамыз.
   • Мысалы, теңдеуді ескере отырып ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$... Жаз ${ Displaystyle a = 1}$, ${ Displaystyle b = -3}$, ${ displaystyle c = 3}$ және ${ Displaystyle d = -1}$... Еске салайық, егер бұрын ${ Displaystyle x}$ сан жоқ, сәйкес коэффициент әлі де бар және тең ${ Displaystyle 1}$.
2. 2 Арнайы формуланың көмегімен нөлдік дискриминантты есептеңіз. Дискриминантты қолданып кубтық теңдеуді шешу үшін сізге бірнеше күрделі есептеулер жүргізу қажет, бірақ егер сіз барлық қадамдарды дұрыс орындасаңыз, бұл әдіс ең күрделі текше теңдеулерін шешуге қажет болады. Алдымен есептеу ${ displaystyle Delta _ {0}}$ (нөлдік дискриминант) - бізге қажет бірінші құндылық; Ол үшін формуладағы сәйкес мәндерді алмастырыңыз ${ displaystyle Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • Дискриминант - көпмүшенің түбірлерін сипаттайтын сан (мысалы, квадрат теңдеудің дискриминанты формуламен есептеледі) ${ Displaystyle b ^ {2} -4ac}$).
   • Біздің теңдеуде:

     ${ Displaystyle b ^ {2} -3ac}$

     ${ Displaystyle (-3) ^ {2} -3 (1) (3)}$

     ${ Displaystyle 9-3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-9 = 0 = Delta _ {0}}$

3. 3 Формуланы пайдаланып бірінші дискриминантты есептеңіз Δ1=2б3−9абc)+27а2d{ displaystyle Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. Бірінші дискриминант ${ displaystyle Delta _ {1}}$ - бұл екінші маңызды құндылық; оны есептеу үшін көрсетілген мәнге сәйкес мәндерді қосыңыз.
   • Біздің теңдеуде:

     ${ displaystyle 2 (-3) ^ {3} -9 (1) (- 3) (3) +27 (1) ^ {2} (- 1)}$

     ${ Displaystyle 2 (-27) -9 (-9) +27 (-1)}$

     ${ Displaystyle -54 + 81-27}$

     ${ displaystyle 81-81 = 0 = Delta _ {1}}$

4. 4 Есептеу:${ displaystyle Delta = ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div -27a ^ {2}}$... Яғни алынған мәндер арқылы текше теңдеуінің дискриминантын табыңыз ${ displaystyle Delta _ {0}}$ және ${ displaystyle Delta _ {1}}$... Егер текше теңдеуінің дискриминанты оң болса, теңдеудің үш түбірі бар; егер дискриминант нөлге тең болса, теңдеудің бір немесе екі түбірі бар; егер дискриминант теріс болса, теңдеудің бір түбірі бар.
   • Кубтық теңдеудің әрқашан кемінде бір түбірі болады, өйткені бұл теңдеудің графигі Х осін кем дегенде бір нүктеде қиып өтеді.
   • Біздің теңдеуде ${ displaystyle Delta _ {0}}$ және ${ displaystyle Delta _ {1}}$ тең ${ displaystyle 0}$, сондықтан сіз оңай есептей аласыз ${ displaystyle Delta}$:

     ${ displaystyle ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div (-27a ^ {2})}$

     ${ displaystyle ((0) ^ {2} -4 (0) ^ {3}) div (-27 (1) ^ {2})}$

     ${ Displaystyle 0-0 div 27}$

     ${ displaystyle 0 = Delta}$... Осылайша, біздің теңдеудің бір немесе екі түбірі бар.

5. 5 Есептеу:${ displaystyle C = ^ {3} { sqrt { left ({ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + Delta _ {1 } оң) div 2}}}$. ${ Displaystyle C}$ - бұл табылатын соңғы маңызды шама; бұл теңдеудің түбірлерін есептеуге көмектеседі. Мәндерді көрсетілген формулаға ауыстырыңыз ${ displaystyle Delta _ {1}}$ және ${ displaystyle Delta _ {0}}$.
   • Біздің теңдеуде:

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) + Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0 ^ {2} -4 (0) ^ {3}) + (0)}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0-0) +0}} div 2}}}$

     ${ displaystyle 0 = C}$

6. 6 Теңдеудің үш түбірін табыңыз. Оны формуламен орындаңыз ${ displaystyle - (b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div (u ^ {n} C)) div 3a}$, қайда ${ displaystyle u = (- 1 + { sqrt {-3}}) div 2}$, бірақ n -ге тең 1, 2 немесе 3... Сәйкес мәндерді осы формуламен алмастырыңыз - нәтижесінде сіз теңдеудің үш түбірін аласыз.
   • Мәнін мына формуланың көмегімен есептеңіз n = 1, 2 немесе 3содан кейін жауапты тексеріңіз. Жауапты тексергенде 0 алсаңыз, бұл мән теңдеудің түбірі болып табылады.
   • Біздің мысалда алмастырыңыз 1 жылы ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$ және алыңыз 0, яғни 1 теңдеудің түбірлерінің бірі болып табылады.