Мазмұны

• Басу үшін
• 3-тен 1-бөлім: Талдау негіздері
• 3-тен 2-бөлім: Туындыларды түсіну
• 3-тен 3-бөлім: Интегралдарды түсіну
• Кеңестер

Талдау (есептеу деп те аталады) - шектерге, функцияларға, туындыларға, интегралдарға және шексіз қатарларға бағытталған математиканың бөлімі. Бұл пән көптеген математиканы қамтиды және физика мен механикада қолданылатын көптеген формулалар мен теңдеулердің негізінде жатыр. Талдауды дұрыс түсіну үшін сізге орта мектепте бірнеше жыл бойы математика сабағы болуы керек шығар, бірақ бұл мақала сіз теорияны жақсы түсінумен қатар негізгі түсініктерді тануға үйренуге кіріседі.

Басу үшін

3-тен 1-бөлім: Талдау негіздері

1. Талдау - бұл заттардың қалай өзгеретінін зерттейтін ғылым. Талдау - бұл математика, әдетте, нақты деректерден алынған сандар мен графиктерді зерттейтін және олардың қалай өзгеретінін түсіндіретін бөлім. Басында бұл өте пайдалы болып көрінбесе де, талдау математиканың жиі қолданылатын салаларының бірі болып табылады. Сіздің бизнесіңіз кез-келген уақытта қаншалықты тез өсетінін немесе ғарыш кемесінің бағытын қалай көрсететінін және оның отынының қаншалықты тез жұмсалатынын айтып беретін құралдар бар екенін елестетіп көріңіз. Талдау инженерлік, экономикалық, статистикалық, химия мен физикадағы маңызды құрал болып табылады және көптеген өнертабыстар мен ашылуларға өз үлесін қосты.
2. Функциялар - бұл екі сан арасындағы қатынастар және байланыстарды картаға түсіру үшін қолданылады. Олар сандар арасындағы қатынас ережелері, ал математиктер оларды графиктер жасау үшін қолданады. Функцияда әрбір кіріс дәл бір нәтижеге ие. Мысалы: in ${ displaystyle y = 2x + 4,}$Шексіздік ұғымы туралы ойланыңыз. Шексіздік - бұл процестің үнемі қайталануы. Бұл белгілі бір орын емес (сіз шексіздікке жете алмайсыз), керісінше сан немесе теңдеудің мінез-құлқы, егер ол мәңгілікке жасалса. Бұл өзгерісті зерттеу үшін өте маңызды: сіз кез-келген уақытта сіздің машинаңыздың қандай жылдамдықпен қозғалатынын білгіңіз келуі мүмкін, бірақ қазіргі секунд ішінде сіздің машинаңыз қаншалықты жылдам жүреді? Миллисекунд? Наносекунд? Уақыттың анағұрлым дәлірек бөлігін дәлірек табу үшін таба аласыз, сол кезде талдау келеді.
3. Шектер ұғымын түсіну. Шектеу бір нәрсе шексіздікке жақындағанда не болатынын айтады. 1 санын алып, оны 2-ге бөліңіз, 2-ге қайта-қайта бөле беріңіз. 1 саны 1/2 болады, содан кейін 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 және т.с.с. сайын саны азайған сайын нөлге «жақындай» түседі. Бірақ бұл қай жерде тоқтайды? Нөлді алу үшін 1-ді 2-ге қанша бөлу керек? Бұл сұраққа жауап берудің орнына сіз оны қоясыз шектеу Бұл жағдайда шектеу болып табылады.
   • Шектеулерді графикте елестету оңай - мысалы, графикке тиетін нүктелер бар ма, бірақ ешқашан болмайды?
   • Шектер сандық, шексіз, тіпті жоқ болуы мүмкін. Мысалы, 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... қосу ретімен және бұл шексіз жалғасады, соңғы сан шексіз үлкен болады. Шек содан кейін шексіз болады.
4. Алгебра, тригонометрия және математика негіздері туралы маңызды математикалық түсініктерге шолу жасаңыз. Талдау сіз бұрын білген математиканың көп бөлігіне сүйенеді. Барлық тақырыптар туралы жақсы ақпарат алу талдауды үйренуді және түсінуді едәуір жеңілдетеді. Кейбір тақырыптар:
   • Алгебра. Сізге әртүрлі процестерді түсініп, бірнеше айнымалысы бар теңдеулер мен теңдеулер жүйесін шеше білу керек. Коллекциялардың негіздерін түсіну. Графиктер жасауға машықтаныңыз.
   • Геометрия. Геометрия - пішіндерді зерттейтін ғылым. Сіз үшбұрыштар, тіктөртбұрыштар және дөңгелектер туралы, сондай-ақ периметр мен аудан сияқты заттарды қалай есептеу керектігі туралы алғашқы білімге ие болуыңыз керек. Бұрыштарды, түзулер мен координаттарды түсіну
   • Тригонометрия. Тригонометрия - шеңберлер мен тікбұрышты үшбұрыштардың қасиеттерін қарастыратын математиканың бөлімі. Тригонометриялық идентификацияларды, графиктерді, функцияларды және кері тригонометриялық функцияларды қалай қолдануды білу.
5. Графикалық калькулятор сатып алыңыз. Сіз не істеп жатқаныңызды көрмей-ақ талдауды түсіну оңай емес. Графикалық калькуляторлар функцияларды көрнекі етеді, осылайша сіз қандай теңдеулермен жұмыс істеп жатқаныңызды жақсы түсінесіз. Көбінесе экранда шектер көрсетіледі, ал туындылар мен функциялар автоматты түрде есептеледі.
   • Бүгінгі күні көптеген смартфондар мен планшеттер графикалық калькуляторды қаламасаңыз немесе сатып ала алмасаңыз, арзан, бірақ тиімді графикалық бағдарламаларды ұсынады.

3-тен 2-бөлім: Туындыларды түсіну

1. Талдау «өзгерісті белгілі бір сәтте» зерттеу үшін қолданылады. Неліктен дәл бір сәтте бір нәрсе өзгеретінін білу - талдаудың өзегі. Мысалы, талдау сізге машинаның жылдамдығын ғана емес, сонымен қатар кез-келген уақытта бұл жылдамдықтың қаншалықты өзгеретінін береді. Бұл талдаудың қарапайым әдістерінің бірі, бірақ өте маңызды. Айға ғарыш кемесінің жету жылдамдығын анықтауда мұндай ақпарат қаншалықты маңызды екенін елестетіп көріңіз!
   • Уақыттың белгілі бір кезеңіндегі өзгерісті анықтау бар саралау. Дифференциация - талдаудың екі үлкен саласының біріншісі.
2. Заттардың белгілі бір уақытта қалай өзгеретінін түсіну үшін туындыларды қолданыңыз. «Туынды» дегеніміз - оқушылардың жүйкесін жиі қоздыратын нәрсе туралы жақсы сөз. Алайда, тұжырымдаманың өзін түсіну онша қиын емес - бұл жай «нәрсе қаншалықты тез өзгеретінін» білдіреді. Сіз күнделікті өмірде жиі кездесетін туындылар жылдамдыққа байланысты. Дегенмен, сіз әдетте оны «жылдамдықтың туындысы» деп атамай, жай «үдеу» деп атайсыз.
   • Акселерация - бұл туынды - бұл сізге бір нәрсенің қаншалықты жылдамдап немесе баяулап жатқанын немесе оның жылдамдығы қалай өзгеретінін айтады.
3. Өзгеріс жылдамдығы екі нүктенің көлбеуіне тең екенін біліңіз. Бұл талдаудың маңызды ашылуларының бірі. Екі нүкте арасындағы өзгеру жылдамдығы сол екі нүкте арасындағы түзудің көлбеуіне тең. Тек теңдеу сияқты қарапайым сызықты ойлаңыз ${ displaystyle y = 3x.}$Қисық сызықтардың көлбеуін анықтай алатыныңызды біліңіз. Түзудің көлбеуін анықтау салыстырмалы түрде оңай: қаншалықты өзгереді ${ displaystyle y}$Егер сіз өзгерісті дәлірек есептегіңіз келсе, нүктелердің бір-біріне жақын екендігіне көз жеткізіңіз. Екі нүктені неғұрлым жақын таңдаған сайын, жауабыңыз дәлірек болады. Сіз акселераторды басқанда сіздің машинаңыздың қанша жылдамдыққа жететінін білгіңіз келеді делік. Сіз өзіңіздің үйіңіз мен супермаркет арасындағы жылдамдықтың өзгеруін өлшегіңіз келмейді, бірақ жылдамдықтың өзгеруін акселераторға соғылған сәттен бастап. Оқу осы секунтқа жақындаған сайын, сіз өзгерісті дәлірек есептей аласыз.
   • Мысалы, ғалымдар кейбір түрлерді сақтау үшін қаншалықты тез жойылып жатқанын зерттеп жатыр. Алайда қыста жаз мезгіліне қарағанда көбірек жануарлар өледі, сондықтан жыл бойына өзгеру жылдамдығын зерттеу пайдалы емес - өзгеріс қарқынын 1 шілдеден 1 тамызға дейінгі кезең сияқты кішігірім мерзімде анықтаған дұрыс.
4. «Лездік өзгеру жылдамдығын» анықтау үшін шексіз қысқа сызықтарды қолданыңыз немесе туындысын табыңыз. Дәл осы жерде талдау сәл түсініксіз болады, бірақ бұл екі қарапайым фактілердің нәтижесі. Біріншіден, сіз түзудің көлбеуі сол сызықтың қаншалықты тез өзгеретініне тең екенін білесіз. Екіншіден, сызық нүктелері бір-біріне неғұрлым жақын болса, оқу дәлірек болатынын білесіз. Бірақ көлбеу екі нүктенің арасындағы байланыс болса, берілген нүктедегі өзгеру жылдамдығын қалай табуға болады? Жауап: Сіз бір-біріне шексіз жақын екі нүктені таңдайсыз.
   • 1-ден 2-ге бөліп, 1/2, 1/4, 1/8 және т.с.с. алатын мысалды қарастырайық. Сонымен, сіз нөлге жақындайсыз, ал жауап «нөлге жуық» болады. Ұпайлардың бір-біріне жақын болғаны соншалық, «бір-біріне тең». Бұл туындылардың табиғаты.
5. Әр түрлі туындыларды қалай анықтауға болатындығын біліңіз. Теңдеуге байланысты туынды табудың әр түрлі әдістері бар, бірақ олардың көпшілігі мағынасы бар, егер сіз жоғарыда аталған туындылардың негіздерін жаттаған болсаңыз. Барлық туындылар - «шексіз аз» сызықтың көлбеуін табу тәсілі. Туынды теория туралы көбірек білетін болсаңыз, жұмыстың көп бөлігі жауап іздеуде.
6. Кез келген уақытта өзгеру жылдамдығын болжау үшін алынған теңдеулерді табыңыз. Кез-келген уақытта өзгеру жылдамдығын анықтау үшін туындыларды қолдану пайдалы, бірақ талдаудың әсемдігі - кез-келген функция үшін жаңа модель жасауға болады. Туындысы ${ displaystyle y = x ^ {2},}$Егер сізге мұны түсіну қиын болса, туындылардың өмірдегі мысалдарын есте сақтауға тырысыңыз. Қарапайым мысал жылдамдыққа негізделген, ол бізде кездесетін әр түрлі туындыларды қамтиды. Ұмытпа: туынды - бұл нәрсенің қаншалықты тез өзгеретінін анықтайтын өлшем. Қарапайым эксперимент туралы ойланыңыз. Сіз мәрмәрді үстелге домалатып, оның әр қашықтыққа және қаншалықты жылдам қозғалатынын өлшейсіз. Енді домалақ мәрмәр графтағы сызық бойымен жүреді деп елестетіп көріңіз - сіз осы түзудің кез-келген сәтіндегі лездік өзгерістерді өлшеу үшін туындыларды қолданасыз.
   • Мрамор қаншалықты жылдам қозғалады? Қозғалатын мәрмәрдің орны (немесе туындысы) қандай жылдамдықта өзгереді? Біз бұл туындыны «жылдамдық» деп атаймыз.
   • Мраморды көлбеу бойымен айналдырып, жылдамдықтың қалай өзгеретінін байқаңыз. Мрамор жылдамдығының өзгеру жылдамдығы немесе туындысы қандай? Бұл туынды біз «үдеу» деп атайды.
   • Мраморды роликті сияқты толқынды жол бойымен айналдырыңыз. Мрамор төмен қарай домалағанда қаншалықты жылдамдыққа ие болады және мрамор көтерілуге ​​қаншалықты баяулайды? Мәрмәр бірінші төбенің жартысына жеткенде қаншалықты жылдам жүреді? Бұл мәрмәрдің белгілі бір сәттегі өзгеру жылдамдығы немесе туындысы.

3-тен 3-бөлім: Интегралдарды түсіну

1. Күрделі бағыттар мен көлемдерді табу үшін талдауды қолдануға болатындығын біліңіз. Талдаудың көмегімен өлшеу қиын болатын күрделі фигураларды өлшеуге болады. Мысалы, ұзын, дұрыс емес пішінді көлде қанша су барын білгіңіз келетін мәселені қарастырайық - әр литр суды бөлек өлшеу немесе көлдің пішінін өлшеуішті пайдалану мүмкін емес. Талдау арқылы сіз көлдің шеттері қалай өзгеріп жатқанын зерттеп, содан кейін оның құрамында қанша су барын білуге ​​болады.
   • Геометриялық модельдер жасау және көлемдерді зерттеу біріктіру. Кешенді есептеу - талдаудың екінші маңызды саласы.
2. Интеграция графиктің астындағы аймақ екенін біліңіз. Интеграция сызықтың астындағы кеңістікті өлшеу үшін қолданылады, бұл таңқаларлық немесе дұрыс емес пішіндердің ауданын анықтауға мүмкіндік береді. Теңдеуді алайық ${ displaystyle y = 4-x ^ {2},}$Біріктіру үшін аймақты таңдау керек екенін біліңіз. Сіз бүкіл функцияны біріктіре алмайсыз. Мысалы, ${ displaystyle y = x}$Тіктөртбұрыштың ауданын қалай есептеу керектігін ойлаңыз. Сияқты графиктің үстінде тегіс сызық бар делік ${ displaystyle y = 4.}$Интегралдық есептеулерде ауданның ауданын табу үшін көптеген кішкентай төртбұрыштар қосылатындығын біліңіз. Қисық сызықты ұлғайта отырып, ол түзу болып көрінеді. Сіз мұны күн сайын көресіз - сіз жердің қисықтығын қабылдай алмайсыз, өйткені сіз жер бетіне өте жақынсыз. Интеграция қисық астына шексіз кішкентай тік төртбұрыштар жасайды, олар соншалықты кішкентай, оларды санауға мүмкіндік береді. Біріктірілген барлық осы төртбұрыштар қисық астындағы ауданның ауданын құрайды.
   • Сіз графиктің астына көптеген кішкене сегменттер қосасыз делік, және бұл әр сегменттің ені дерлік нөлге тең.
3. Интегралдарды дұрыс оқып, жазуды біліңіз. Интегралдар 4 бөліктен тұрады. Әдеттегі интеграл келесідей:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ Интегралдарды табу туралы көбірек біліңіз. Интеграция әр түрлі формада болады және әр функцияны біріктіру үшін әр түрлі формулаларды үйрену керек. Алайда, олардың барлығы жоғарыда көрсетілген принциптерге сүйенеді: интеграция дегеніміз - шексіз көп заттардың жиынтығы.
   • Ауыстыру арқылы біріктіріңіз.
   • Анықталмаған интегралдарды есептеңіз.
   • Бөлісу арқылы біріктіріңіз.
4. Интеграция дифференциацияға кері және керісінше екенін біліңіз. Бұл талдаудың негізгі ережесі, оның маңыздылығы соншалық, оған өз атауы берілді: интегралды есептеудің негізгі теоремасы.Интеграция мен дифференциация бір-бірімен өте тығыз байланысты болғандықтан, екеуінің тіркесімі арқылы сіз қандай ақпаратқа ие болғаныңызға қарамастан, өзгеру жылдамдығын, үдеуді, жылдамдықты, орналасқан жерді, қозғалысты және т.б.
   • Мысалы, жылдамдықтың туындысы үдеу екенін ұмытпаңыз, сондықтан үдеуді табу үшін жылдамдықты қолдануға болады. Егер сіз тек бір нәрсенің үдеуін білсеңіз (мысалы, ауырлық күшінің әсерінен құлау объектілері), онда жылдамдықты қалпына келтіру үшін интеграциялануға болады!
5. Интеграция көмегімен сіз 3D нысандарының көлемін басқара алатыныңызды біліңіз. Жазық пішінді айналдыру - бұл қатты денелерді құрудың бір әдісі. Үстелде айналған монетаны елестетіп көріңізші - монета айналғанда шар тәрізді болып көрінетініне назар аударыңыз. Бұл тұжырымдама көлемді «айналу арқылы көлем» деп аталатын процесске сәйкес анықтауға мүмкіндік береді.
   • Бұл кез-келген қатты дененің көлемін анықтауға мүмкіндік береді, егер сізде оны көрсететін функция болса. Мысалы, сіз көлдің түбін бақылайтын функцияны құра аласыз, содан кейін сол арқылы көлдің көлемін немесе оның құрамында қанша су бар екенін анықтай аласыз.

Кеңестер

• Практика өте жақсы, сондықтан сіздің оқулықтағы жаттығуларды, тіпті сіздің мұғаліміңіз бермеген жаттығуларды орындаңыз - және ұғымдарды жақсы түсіну үшін жауаптарыңызды тексеріңіз.
• Егер сіз шешім таба алмасаңыз, мұғаліміңізден сұраңыз.