Мазмұны

• Қадамдар
• Кеңес
• Ескерту

Екі бөлшектің мәні бірдей болса, оларды эквивалент деп атайды. Бөлшекті оның эквивалентті түріне қалай ауыстыру керектігін білу - негізгі алгебра мен дамыған математикаға дейінгі математикалық дағды. Бұл мақалада негізгі көбейту мен бөлуден эквивалентті бөлшектермен теңдеулерді шешудің күрделі әдістеріне дейін баламалы бөлшектерді есептеудің бірнеше әдісі енгізіледі.

Қадамдар

5-тен 1-әдіс: Эквивалентті бөлшектер құрыңыз

1. 

   Бөлгішті және бөлгішті бірдей санға көбейт. Анықтама бойынша екі түрлі, бірақ эквивалентті бөлшектердің нумераторы, ал бөлгіш бір-біріне еселік болады. Басқаша айтқанда, бөлшектің бөлгішін және бөлгішін бірдей санға көбейткенде эквивалентті бөлшек шығады. Жаңа бөлшектердегі сандар әр түрлі болғанымен, олардың мәні бірдей болады.
   • Мысалы, егер біз 4/8 бөлшегін алып, нумератор мен үлгіні 2-ге көбейтсек, (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16 шығады. Бұл екі фракция эквивалентті болып табылады.
   • (4 × 2) / (8 × 2) 4/8 × 2/2 дәл бірдей. Есіңізде болсын, біз екі бөлшекті көбейткенде көлденеңінен көбейтеміз, яғни бөлгішті бөлгішке, ал бөлгішті азайтқышқа көбейтеміз.
   • Бөлуді жасаған кезде 2/2 1-ге тең екенін ескеріңіз. Демек, неге 4/8 мен 8/16 тең екенін түсіну қиын, өйткені 4/8 × (2/2) әлі = 4/8. 4/8 = 8/16.
   • Кез-келген бөлшектің эквивалентті бөлшектердің шексіз саны болады. Эквивалентті бөлшек алу үшін бөлгішті және бөлгішті кез-келген үлкен немесе кіші бүтін санға көбейтуге болады.

2. 

   
   
   Бөлгішті және бөлгішті бірдей санға бөлу. Көбейту сияқты бөлу де бастапқы бөлшекке тең жаңа бөлшекті табу үшін қолданылады. Жай бөлшектің бөлгішін және бөлгішін бірдей санға бөліп, эквивалентті бөлшек шығады. Алайда алынған бөлшек нуматорда да, таңдамада да бүтін сандар болуы керек.
   • Мысалы, 4/8 бөлшегін еске түсіріңіз. Көбейтудің орнына бөлгішті де, бөлгішті де 2-ге бөлеміз, бізде (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4 болады. 2 және 4 - бұл екі бүтін сан, сондықтан бұл эквивалентті бөлшек дұрыс болады.
   жарнама

5-тен 2-әдіс: Эквивалентті анықтау үшін негізгі көбейтуді қолдану

1. 

   
   
   Үлкен бөлгіш кіші бөлгішке көбейтілетін санды табыңыз. Бөлшектердің көптеген есептері екі бөлшектің тең немесе тең еместігін анықтайды. Осы санды есептей отырып, сіз эквиваленттілікті анықтау үшін бөлшектерді бірдей мүшеге қайтара аласыз.
   • Мысалы, 4/8 және 8/16 бөлшектерін шығарыңыз. Кіші бөлгіш 8-ге тең, ал біз оны 16-ға үлкен бөлгішті алу үшін осы санды 2-ге көбейтуіміз керек, сондықтан бұл жағдайда іздеу керек болатын сан 2-ге тең болады.
   • Неғұрлым күрделі сандар үшін үлкен бөлгішті кіші бөлгішке бөлу жеткілікті. Жоғарыдағы 16-мысалда 8-ге бөлінгенде нәтиже 2-ге тең.
   • Бұл сан әрқашан бүтін сан бола бермейді. Мысалы, егер бөлгіштер 2 мен 7 болса, онда 7-ді 2-ге бөлгенде 3,5-ке тең болады.

2. 

   
   
   Бөлшектің бөлгіші мен бөлгіші жоғарыда көрсетілген қадаммен төменгі мүшеде көрсетілген. Анықтама бойынша екі түрлі, бірақ эквивалентті фракциялар бар Бөлгіш пен бөлгіш бір-бірінің еселіктері. Басқаша айтқанда, бөлшектің бөлгішін және бөлгішін бірдей санға көбейткенде эквивалентті бөлшек шығады. Бұл жаңа бөлшектегі сандар әр түрлі болатынымен, олардың мәні бірдей.
   • Мысалы, егер біз бірінші сатыдан 4/8 бөлшегін алып, нумераторды да, үлгіні де бұрын көрсетілген 2 санына көбейтсек, бізде (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. Бұл осы екі фракцияның эквивалентті екенін дәлелдейді.
   жарнама

5-тен 3-әдіс: Эквиваленттікті анықтау үшін негізгі бөлуді қолдану

1. 

   Әр бөлшекті ондық бөлшекке бөліңіз. Айнымалысы жоқ жай бөлшектер үшін эквиваленттілікті анықтау үшін әр бөлшекті ондық бөлшек түрінде ғана көрсету керек. Әр бөлшек мәні бойынша бөліну болғандықтан, бұл эквиваленттілікті анықтаудың қарапайым әдісі.
   • Мысалы, жоғарыдағы 4/8 бөлшегін алайық. 4/8 бөлшегі 4-ті 8-ге бөлуге тең, 4/8 = 0,5. Бұл бөлшекті осылай бөлуге болады, 8/16 = 0,5. Бөлшектердің форматына қарамастан, егер олар ондық бөлшекпен өрнектелгенде екі сан тең болса, олар эквивалентті болады.
   • Есіңізде болсын, ондық бөлшек эквивалентті емес деген қорытынды жасамас бұрын көптеген цифрлар шығаруы мүмкін. Негізгі мысал - 1/3 = 0.333 ..., ал 3/10 = 0.3. Тек бір цифрдан артық, біз бұл екі бөлшектің эквивалентті емес екенін анықтаймыз.

2. 

   Бөлшектің бөлгішін және бөлгішін бірдей санға бөліп, эквивалентті бөлшек шығады. Неғұрлым күрделі фракциялар үшін бұл бөлу әдісі қосымша қадамдарды қажет етеді. Көбейту сияқты бөлшектің бөлгішін және бөлгішін бірдей санға бөліп, эквивалентті бөлшек алуға болады. Алайда алынған бөлшек нуматорда да, таңдамада да бүтін сандар болуы керек.
   • Фракция мысалы 4/8. Көбейтудің орнына біз бөлісу Бөлгіш те, бөлгіш те 2 береді, біз (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = аламыз 2/4. 2 және 4 екеуі де бүтін сандар, сондықтан бұл эквивалентті бөлшек дұрыс болады.

3. 

   
   
   Бөлшекті минималды түріне келтіріңіз. Фракциялардың көпшілігі әдетте минималды түрде өрнектеледі, және оларды ең кіші түріне санағыш пен үлгінің ең үлкен ортақ факторына бөлу арқылы қайтаруға болады. Бұл қадам эквивалентті бөлшектерді бірдей бөлгішке айналдыру арқылы бейнелеудің бірдей логикасында жұмыс істейді, бірақ бұл әдіс әрбір бөлшекті минималды түріне келтіруді қажет етеді.
   • Бөлшек минималды түрінде болғанда, бөлгіш пен оның бөлгіші мүмкіндігінше аз болады. Кішірек сан алу үшін оларды кез-келген бүтін санға бөлуге болмайды. Бөлшекті минималды түріне айналдыру үшін бөлгіш пен бөлгішті келесіге бөлеміз ең үлкен жалпы фактор.
   • Бөлгіштің және бөлгіштің ең үлкен ортақ коэффициенті - олар бөлінетін максималды сан. Мәселен, 4/8 мысалда, өйткені 4 - 4-ке де, 8-ге де бөлінетін ең үлкен сан, біз осы бөлшектің бөлгішін және бөлгішін 4-ке бөліп, оңайлатылған түрін аламыз. (4 ÷ 4) / (8 ÷ 4) = 1/2. Басқа мысалда 8/16, GCF - 8, нәтиже де - 1/2.
   жарнама

5-тен 4-әдіс: Айнымалыларға есептер шығару үшін айқас көбейтуді қолдану

1. 

   
   
   Екі бөлшекті тең етіп қой. Бөлшектердің эквивалентті екенін білетін есептер үшін айқас көбейтуді қолданамыз, бірақ сандардың бірін айнымалы ауыстырды (көбіне х), біз оны табу үшін есеп шығаруға тура келеді. Осындай жағдайларда айқас көбейту жылдам әдіс болып табылады.

2. 

   
   
   Екі эквивалентті бөлшектерді алып, оларды «Х» көмегімен қиып өтіңіз. Басқаша айтқанда, сіз бір бөлшектің бөлгішін екіншісінің бөлгішіне көбейтесіз және керісінше, содан кейін осы екі нәтижені тең етіп қойып, есепті шығарасыз.
   • Екі мысалды алайық, 4/8 және 8/16. Бұл екі фракцияда айнымалылар жоқ, бірақ олардың эквивалентті екендігін дәлелдей аламыз. Айқас көбейту арқылы біз 4 x 16 = 8 x 8 немесе 64 = 64 аламыз, бұл дұрыс. Егер екі сан бірдей болмаса, онда бөлшектер тең емес.

3. 

   Айнымалыларды салыңыз. Айнымалыларды табу мәселесін шешуге тура келетін кезде, эквивалентті бөлшектерді анықтаудың ең оңай әдісі болғандықтан, айнымалыларды қосыңыз.
   • Мысалы, келесі теңдеуді қарастырайық 2 / x = 10/13. Көбейту үшін 2-ді 13-ке және 10-ды х-ге көбейтеміз, содан кейін осы екі нәтижені тең етіп қоямыз:
     • 2 × 13 = 26
     • 10 × x = 10x
     • 10х = 26. Қарапайым алгебралық әдістермен x = 26/10 = айнымалысын табуға болады 2.6, онда алғашқы екі эквивалентті бөлшектер 2 / 2.6 = 10/13 болады.

4. 

   Айнымалысы немесе айнымалы өрнектері бар теңдеулер үшін айқас көбейтуді қолданыңыз. Қарама-қарсы көбейтудің бір керемет жері - сізде екі қарапайым бөлшек (жоғарыдағыдай) немесе одан да күрделі бөлшектер болса да, шешім бірдей. Мысалы, егер екі фракцияда да айнымалылар болса, оларды есеп шығару процесінің соңғы сатысында алып тастаңыз. Дәл сол сияқты, егер бөлшектердің бөлгіштері мен бөлгіштерінде айнымалы өрнектер болса (мысалы, х + 1), жай көбейтіп, әдеттегідей шешіңіз.
   • Мысалы, келесі теңдеуді қарастырайық ((x + 3) / 2) = ((x + 1) / 4). Жоғарыда айтылғандай, біз екі фракцияны көбейту арқылы шешеміз:
     • (x + 3) × 4 = 4x + 12
     • (x + 1) × 2 = 2x + 2
     • 2х + 2 = 4х + 12, қабырғаларын 2х-қа азайтыңыз
     • 2 = 2x + 12, айнымалыны бөлу үшін қабырғаларын 12-ге шығарамыз
     • -10 = 2х, және қабырғаларын 2-ге бөліп, х-ті табу керек
     • -5 = x
   жарнама

5-тен 5-әдіс: Айнымалы теңдеулерді шешу үшін квадраттық шешімді қолдану

1. 

   Екі фракцияны көбейтіңіз. Квадраттық шешімдерді қолдануды қажет ететін эквиваленттік есептер үшін біз әлі де көлденең көбейтуді қолданамыз. Алайда, кез-келген өзара көбейту айнымалысы бар мүшені басқа айнымалысы бар мүшеге көбейтуді қамтиды, алгебралық әдістермен оңай шешілмейтін өрнек шығаруға мүмкіндігі бар. Мұндай жағдайларда сізге факторизация және / немесе квадрат формула сияқты тәсілдерді қолдану қажет болады.
   • Мысалы, келесі теңдеуді қарастырайық ((x +1) / 3) = (4 / (2x - 2)). 1-қадам, біз көбейтеміз:
     • (x + 1) × (2x - 2) = 2x + 2x -2x - 2 = 2x - 2
     • 4 × 3 = 12
     • 2х - 2 = 12.

2. 

   Теңдеуді квадрат теңдеу түрінде өрнектеңіз. Енді біз теңдеуді квадрат түрінде ұсынуымыз керек (ax + bx + c = 0), мұндағы теңдеуді нөлге теңестіреміз, бұл жағдайда 2х алу үшін екі жағын да 12-ге шығарамыз. - 14 = 0.
   • Кейбір мәндер нөлге тең болуы мүмкін, 2х - 14 = 0 теңдеудің қарапайым түрі болғанымен, оның квадраттық мәні 2х + 0х + (-14) = 0 болады. Квадрат теңдеу формасын кейбір мәндер 0-ге тең болса да түзетіңіз.

3. 

   Ерітінді формуласына белгілі коэффициенттерді қосу арқылы теңдеуді шешіңіз. Квадрат формула (x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a) бізге осы кезде х-ті табу мәселесін шешуге көмектеседі. Қорықпа, өйткені формула ұзақ болып көрінеді. Тек екінші қадамдағы квадрат теңдеудегі мәндерді алып, оларды шешпес бұрын өз орындарына қойыңыз.
   • x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a. Теңдеуде 2х - 14 = 0, a = 2, b = 0 және c = -14.
   • x = (-0 +/- √ (0 - 4 (2) (- 14))) / 2 (2)
   • x = (+/- √ (0 - -112)) / 2 (2)
   • x = (+/- √ (112)) / 2 (2)
   • x = (+/- 10.58 / 4)
   • x = +/- 2.64

4. 

   X-ті квадрат теңдеуіне қосу арқылы жауаптарыңызды тексеріңіз. Табылған х-ті екінші қадамнан бастап өзіңіздің квадрат теңдеуіңізге ауыстыру арқылы сіз жауаптың шын немесе жалған екенін оңай анықтай аласыз. Бұл мысалда сіз 2.64 және -2.64 екеуін де бастапқы квадрат теңдеуде алмастырар едіңіз. жарнама

Кеңес

• Бөлшектерді тең мәнді бөлшектерге айналдыру дегеніміз, оларды 1-ге көбейтудің формасы болып табылады, оның 1/2 бөлігін 2/4-ке айналдыру кезінде біз бөлгіш пен бөлгішті 2-ге көбейтеміз немесе көбейтеміз. 1/2 2/2-мен, бұл 1-ге тең.
• Қаласаңыз, түрлендіруді жеңілдету үшін аралас санды дұрыс емес бөлшекке айналдырыңыз. Кез-келген фракцияны жоғарыда келтірілген 4/8 мысал сияқты оңай айырбастай алмайтынымыз анық. Мысалы, аралас сандар (мысалы, 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 және т.б.) ауысуды сәл күрделендіре алады. Егер сізге аралас санды балама бөлшекке айналдыру қажет болса, оны екі жолмен жасауға болады: аралас санды дұрыс емес бөлшекке айналдырыңыз, содан кейін әдеттегідей түрлендіріңіз, немесе аралас санды сақтаңыз және аралас санның жауабын қарастырыңыз.
  • Дұрыс емес бөлшекті түрлендіру үшін аралас санның бүтін бөлігін бөлшектің бөлгішіне көбейтіп, содан кейін оны нумераторға қосады. Мысалы, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2) / 3 = 5/3. Содан кейін, қаласаңыз, қажет болған жағдайда баламалы фракцияларға ауыстыра аласыз. Мысалы, 5/3 × 2/2 = 10/6, бұл әлі 1 2/3 тең.
  • Алайда, бізге жоғарыдағыдай дұрыс емес бөлшекке көшудің қажеті жоқ. Толық сан бөлігін елемеңіз, тек бөлшек бөлігін түрлендіріңіз, содан кейін санның бүтін бөлігін қайта түрлендірілген бөлшек бөлігіне қосыңыз. Мысалы, 3 4/16 үшін біз тек 4/16-ны қарастырамыз. 4/16 & бөлу; 4/4 = 1/4. Бүкіл санды артқа қосқанда, бізде жаңа аралас сан бар 3 1/4.

Ескерту

• Көбейту мен бөлу эквивалентті бөлшектерді құру үшін қолданылады, өйткені 1 санының бөлшек түріне көбейту және бөлу (2/2, 3/3, т.б.) бөлшек мәндерге әсер етпейді. түпнұсқа. Қосу және азайту мұны жасамайды.
• Бөлшектерді көбейту кезінде бөлгіш пен бөлгішті көбейткенмен, бөлшектерді қосу немесе азайту кезінде бөлгішті қосуға немесе азайтуға болмайды.
  • Жоғарыдағы мысал ретінде біз 4/8 ÷ 4/4 = 1/2 екенін көреміз. Егер оның орнына мен болса плюс 4/4 үшін жауап мүлдем басқаша болады. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 жақсы 3/2, ешқандай жауап 4/8-ге тең емес.