Мазмұны

• Басу үшін
• 3-тен 1-әдіс: Бірінші қарапайым тапсырма
• 3-тен 2-әдіс: Нақты нәтиже үшін күтілетін мәнді есептеу
• 3-тің 3 әдісі: тұжырымдаманы түсіну
• Кеңестер
• Қажеттіліктер

Күту мәні - бұл статистикалық термин және іс-әрекеттің қаншалықты пайдалы немесе зиянды болатынын анықтайтын ұғым. Күтілетін мәнді есептеу үшін белгілі бір жағдайдағы әр нәтижені және онымен байланысты ықтималдықты немесе белгілі бір нәтиженің пайда болу ықтималдығын жақсы түсіну қажет. Төмендегі қадамдарда күту мәнінің тұжырымдамасын түсінуге көмектесетін бірнеше жаттығулар келтірілген.

Басу үшін

3-тен 1-әдіс: Бірінші қарапайым тапсырма

1. Өтінішті оқыңыз. Барлық ықтимал нәтижелер мен ықтималдықтар туралы ойлауды бастамас бұрын, мәселені түсіну маңызды. Мысалы, бір ойынға 10 евро тұратын сүйек ойыны. Алтылық мата бір рет айналдырылады және сіздің ұтыстарыңыз оралатын санға байланысты болады. Егер 6 дөңгелектелген болса, сіз 30 евро ұтасыз; 5 20 евро алады; басқа нөмір ештеңе бермейді.
2. Барлық мүмкін нәтижелерді келтіріңіз. Бұл берілген жағдайдағы барлық мүмкін нәтижелерді тізуге көмектеседі. Жоғарыда келтірілген мысалда 6 нәтиже болуы мүмкін. Олар: (1) 1-ні айналдырсаңыз, сіз 10 долларды жоғалтасыз, (2) 2-ні айналдырсаңыз, сіз 10 долларды жоғалтасыз, (3) 3-ні айналдырсаңыз, сіз 10 долларды жоғалтасыз, (4) 4-ді, ал сіз 10 долларды жоғалтасыз. , (5) 5 санын айналдырып, 10 доллар ұтып алыңыз, (6) 6 дөңгелегін айналдырып, 20 доллар ұтып алыңыз.
   • Әр нәтиже жоғарыда сипатталғаннан 10 евроға аз екенін ескеріңіз, өйткені нәтижеге қарамастан, алдымен ойын үшін 10 евро төлеуге тура келеді.
3. Әр нәтиженің ықтималдығын анықтаңыз. Бұл жағдайда кез-келген 6 нәтиженің ықтималдығы бірдей. Кездейсоқ санның айналдыру ықтималдығы 6-да 1-ді құрайды. Мұны жазуды жеңілдету үшін (1/6) бөлшегін калькулятор көмегімен ондық бөлшек түрінде жазамыз: 0.167. Бұл ықтималдықты әр нәтиженің қасына жазыңыз, әсіресе әр нәтижеге әр түрлі ықтималдықтармен есеп шығарғыңыз келсе.
   • Сіздің 1/6 калькуляторыңыз 0.166667 сияқты болуы мүмкін. Дәлдікті жоғалтпай есептеуді жеңілдету үшін біз оны 0,177-ге дейін дөңгелектейміз.
   • Егер сіз өте дәл нәтиже алғыңыз келсе, оны ондық санға айналдырмаңыз, формулаға 1/6 енгізіп, оны калькуляторда есептеңіз.
4. Әрбір нәтиженің мәнін жазыңыз. Нәтиженің $ ықтималдығына көбейтіңіз, нәтижесінде нәтиже күтілетін мәнге қанша ақша қосатындығын есептеңіз. Мысалы, 1-ді домалату нәтижесі - $ 10, ал 1-ді айналдыру ықтималдығы 0,167 құрайды. 1-ді лақтыру мәні (-10) * (0.167) құрайды.
   • Егер сізде бірнеше операцияларды бір уақытта орындай алатын калькулятор болса, қазір бұл нәтижелерді есептеудің қажеті жоқ. Егер сіз барлық теңдеуді енгізсеңіз, дәлірек нәтижеге қол жеткізесіз.
5. Оқиғаның күтілетін мәнін алу үшін әр нәтиженің мәнін қосыңыз. Жоғарыдағы мысалды жалғастыру үшін сүйек ойынының күту мәні: (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (-10 * 0.167) + (10) * 0.167) + (20 * 0.167), немесе - 1.67 €. Сонымен, осы ойында әр ойын сайын (бір ойынға) 1,67 доллар жоғалтасыз деп күтуге болады.
6. Күтілетін мәнді есептеудің салдары қандай? Жоғарыда келтірілген мысалда біз болжамды пайда (шығын) - лақтыруға 1,67 евро болатындығын анықтадық. Бұл 1 ойынның мүмкін емес нәтижесі; сіз 10 евро жоғалтуға, 10 еуро жеңуге немесе 20 еуро ұтуға болады. Бірақ ұзақ мерзімді перспективада күтілетін мән пайдалы, орташа ықтималдық болып табылады. Егер сіз осы ойынды ойнай берсеңіз, орташа есеппен бір ойын үшін 1,67 доллар жоғалтасыз. Күтілетін құндылық туралы ойлаудың тағы бір әдісі - ойынға белгілі бір шығындар (немесе артықшылықтар) тағайындау; егер сіз бұл ойынды қажет деп тапсаңыз ғана ойнауыңыз керек, оған әр уақытта оған 1,67 доллар жұмсауға жеткілікті рахат алыңыз.
   • Жағдай жиі қайталанған сайын, күтілетін мән нақты, орташа нәтиженің көрінісі болып табылады. Мысалы, мүмкін сіз ойынды қатарынан 5 рет ойнайсыз және сіз әр уақытта ұтыласыз, нәтижесінде орташа шығын $ 10 болады. Алайда, егер сіз ойынды 1000 рет қайталасаңыз, орташа нәтиже бір ойынға 1,67 евродан күтілетін мәнге жақындай түседі. Бұл принцип «үлкен сандар заңы» деп аталады.

3-тен 2-әдіс: Нақты нәтиже үшін күтілетін мәнді есептеу

1. Осы әдісті қолданып белгілі бір үлгі пайда болғанға дейін аудару қажет монеталардың орташа санын есептеңіз. Мысалы, сіз әдісті қолданып, бастың қатарынан екі рет болғанша аударылатын монеталардың күтілетін санын біле аласыз. Бұл проблема күту мәндеріне қатысты стандартты мәселеге қарағанда біршама күрделі, сондықтан күту мәні туралы түсінікпен таныс болмасаңыз, алдымен осы мақаланың жоғарыдағы бөлігін оқып шығыңыз.
2. Біз x мәнін іздеп жатырмыз делік. Сіз қатарынан екі бас алу үшін орташа есеппен қанша монета аудару керектігін анықтауға тырысып жатырсыз. Енді жауабын табу үшін салыстыру жүргіземіз. Іздеген жауабымызды х деп атаймыз. Біз қажетті салыстыруды біртіндеп жасаймыз. Қазіргі уақытта бізде мыналар бар:
   • х = ___
3. Егер бірінші флип монета шығарса, не болатынын ойлаңыз. Бұл жағдайдың жартысында болады. Егер бұл жағдай болса, сіз орамды «ысыраптадыңыз», ал басын қатарынан екі рет айналдыру мүмкіндігі өзгерген жоқ. Монеталарды лақтырған кездегідей, қатарынан екі рет бас алмай тұрып, сізге орташа рет тастау керек деп күтілуде. Басқаша айтқанда, сіз x санын бірнеше рет айналдырасыз деп күткен боларсыз, оған қоса сіз бұрын ойнаған уақытты да қосасыз. Теңдеу түрінде:
   • x = (0,5) (x + 1) + ___
   • Біз басқа жағдайларды ойлауды жалғастыра отырып, бос орынды толтырамыз.
   • Егер онай немесе қажет болса, ондық бөлшектердің орнына бөлшектерді қолдануға болады.
4. Басыңызды лақтырған кезде не болатынын ойлаңыз. Кубокты бірінші рет лақтырудың 0,5 (немесе 1/2) мүмкіндігі бар. Бұл басын қатарынан екі рет лақтыру мақсатына жақындайтын сияқты, бірақ қанша? Мұны табудың ең оңай жолы - екінші орамдағы параметрлер туралы ойлану:
   • Егер екінші лақтыру монета болса, біз басына ораламыз.
   • Егер екінші рет кубок болса, онда біз аяқтадық!
5. Екі оқиғаның пайда болу ықтималдығын қалай есептеуге болатындығын біліп алыңыз. Сіздің кубок лақтыратындығыңыздың 50% мүмкіндігі бар екенін енді білдік, бірақ сіз кубокты қатарынан екі рет лақтыруға қандай мүмкіндік бар? Бұл ықтималдықты есептеу үшін екеуінің ықтималдығын көбейтіңіз. Бұл жағдайда ол 0,5 х 0,5 = 0,25 құрайды. Әрине, бұл сіздің бастарыңызды, содан кейін құйрықтарды айналдыру мүмкіндігі, өйткені олардың екеуінің де пайда болу мүмкіндігі 0,5: 0,5 х 0,5 = 0,25.
6. «Бастар, содан кейін құйрықтар» үшін нәтижені теңдеуге қосыңыз. Енді осы оқиғаның пайда болу ықтималдығын есептеп шығарғаннан кейін, теңдеуді кеңейтуге көшуге болады. Алға жылдамай екі рет лақтыруды ысырап етудің 0,25 (немесе 1/4) мүмкіндігі бар. Бірақ қазір біз қалаған нәтижеге қол жеткізу үшін орта есеппен тағы бірнеше рет лақтыру керек, оған қоса біз қазірдің өзінде лақтырған 2-ге тең. Теңдеу түрінде бұл (0,25) (x + 2) болады, оны енді теңдеуге қосуға болады:
   • x = (0,5) (x + 1) + (0,25) (x + 2) + ___
7. «Тақырып, тақырып» нәтижесін теңдеуге қосыңыз. Егер сіз монеталардың алғашқы екі лақтырылымымен басын айналдырсаңыз, бітті. Сіз нәтижені тура 2 лақтыруда алдыңыз. Біз бұған дейін атап өткендей, мұның 0,25 мүмкіндігі бар, сондықтан бұл үшін теңдеу (0,25) (2) болады. Біздің салыстыруымыз енді аяқталды:
   • x = (0.5) (x + 1) + (0.25) (x + 2) + (0.25) (2)
   • Егер сіз барлық мүмкін жағдайларды ойластырғаныңызға сенімді болмасаңыз, онда теңдеудің аяқталғанын тексерудің оңай әдісі бар. Теңдеудің әр бөлігіндегі бірінші сан оқиғаның пайда болу ықтималдығын білдіреді. Бұл әрқашан 1-ге дейін қосылады. Мұнда 0,5 + 0,25 + 0,25 = 1, сондықтан біз барлық жағдайларды енгізгенімізді білеміз.
8. Теңдеуді жеңілдетіңіз. Көбейту арқылы теңдеуді сәл жеңілдетейік. Есіңізде болсын, егер сіз жақшадан бірдеңе көрсеңіз: (0,5) (x + 1), онда сіз жақшаның екінші жиынтығында орналасқан әрбір мүшеге 0,5-ті көбейтесіз. Бұл сізге мынаны береді: 0,5х + (0,5) (1) немесе 0,5х + 0,5. Мұны теңдеудегі әр мүше үшін орындайық, содан кейін бұл терминдерді бәрі қарапайым болып көрінетін етіп біріктірейік:
   • х = 0,5х + (0,5) (1) + 0,25х + (0,25) (2) + (0,25) (2)
   • х = 0,5х + 0,5 + 0,25х + 0,5 + 0,5
   • x = 0,75x + 1,5
9. X үшін шешіңіз. Кез-келген теңдеудегідей, оны есептеу үшін теңдеудің бір жағындағы х-ны бөліп алу керек болады. Есіңізде болсын, x «қатарынан екі рет бас алу үшін сізге тастау керек монеталардың орташа саны» дегенді білдіреді. Х-ті есептегенде, біз де өз жауабымызды таптық.
   • x = 0,75x + 1,5
   • x - 0,75x = 0,75x + 1,5 - 0,75x
   • 0,25х = 1,5
   • (0,25х) / (0,25) = (1,5) / (0,25)
   • x = 6
   • Орташа алғанда, сіз екі рет лақтырмас бұрын, тиынды 6 рет лақтыруыңыз керек.

3-тің 3 әдісі: тұжырымдаманы түсіну

1. Күтілетін мән дегеніміз не? Күту мәні ең айқын немесе логикалық нәтиже бола бермейді. Кейде күту мәні берілген жағдайда мүмкін емес мән болуы мүмкін. Мысалы, жүлдесі 10 евродан аспайтын ойын үшін күту мәні + 5 евро болуы мүмкін. Күту мәні белгілі бір оқиғаның қаншалықты мәні бар екенін көрсетеді. Егер ойын + 5 € күтілетін мәнге ие болса, онда сіз оны ойынға алуға болатын уақыт пен ақшаға лайық деп санасаңыз, оны ойнай аласыз. Егер басқа ойынның күтілетін мәні - $ 20 болса, онда сіз оны әр ойын 20 долларға тең деп ойласаңыз ғана ойнайсыз.
2. Тәуелсіз оқиғалар ұғымын түсіну. Күнделікті өмірде көпшілігіміз кейбір жақсы нәрселер орын алатын сәттілікпен күн кешеміз деп ойлаймыз, ал қалған күндері сол жолмен өтеді деп күтеміз.Дәл сол сияқты, бізде апат жеткілікті болды деп ойлай аламыз және қазір қызықты нәрсе жасау керек. Математикалық тұрғыдан алғанда бәрі солай жүрмейді. Егер сіз кәдімгі монетаны лақтыратын болсаңыз, онда сізде бас немесе тиынды лақтыру мүмкіндігі тура осындай. Сіз қанша рет лақтырғаныңыз маңызды емес; келесі жолы лақтырған кезде ол бәрібір жұмыс істейді. Монеталарды лақтыру басқа лақтыруларға қарағанда «тәуелсіз», оған әсер етпейді.
   • Монеталарды лақтырғанда (немесе басқа кездейсоқ ойындарда) сәттілікке немесе сәттілікке ие бола алмайсыз деген сенім, немесе Сіздің сәттіліктің бәрі аяқталып, сәттілік сіздің жағыңызда тұрғанын құмар ойыншыларды алдау (немесе құмар ойыншылардың жаңылысы) деп те атайды. Бұл адамдардың сәттілік өз жағында екенін сезгенде немесе «сәттілік сериясын» сезінгенде немесе өздерінің «сәттіліктер бұрылғалы тұрғанын» сезгенде қауіпті немесе ақымақ шешімдер қабылдауға бейім болуымен байланысты ».
3. Үлкен сандардың заңын түсіну. Сіз күту мәні іс жүзінде пайдалы емес деп ойлауыңыз мүмкін, өйткені бұл жағдайдың нақты нәтижесі туралы сирек айтады. Егер сіз рулетка ойынының күтілетін мәні - € 1 деп есептесеңіз және сіз ойынды 3 рет ойнайтын болсаңыз, онда сіз әдетте 10 € немесе + 60 € немесе басқа нәтижелермен аяқталасыз. «Үлкен сандар заңы» күту мәні сіз ойлағаннан неғұрлым пайдалы екенін түсіндіруге көмектеседі: сіз неғұрлым көп ойнасаңыз, орташа нәтиже күту мәніне жақындай түседі. Іс-шаралардың көптігін көргенде, түпкілікті нәтиже күткен мәнге жақындауға үлкен мүмкіндік бар.

Кеңестер

• Бірнеше нәтижеге қол жеткізуге болатын жағдайлар үшін компьютерде нәтижелер мен олардың ықтималдылықтарын пайдаланып күтілетін мәнді есептеу үшін кесте құруға болады.
• Жоғарыдағы € есептеулер басқа валюталарда да жұмыс істейді.

Қажеттіліктер

• Қарындаш
• Қағаз
• Калькулятор